Equazione differenziale
ho già postato questo argomento in fisica ma mi è stato detto di spostarlo il problema è il seguente:
Applicando i normali metodi di risoluzione (separazione delle variabili e poi variazione della costante) non sono riuscito a capire come questa equaizone differenziale:
[tex]\frac{dv}{dt}=g- \frac{B^{2}b^{2}}{mR}v[/tex]
Possa avere come risultato TENENDO CONTO CHE PER t=0 la velocità è nulla
[tex]v=\frac{mgR}{B^{2}b^{2}}(1-e^{-\frac{B^{2}b^{2}t}{mR}})[/tex]
i termini B, b,m,R,g Sono costanti
Applicando i normali metodi di risoluzione (separazione delle variabili e poi variazione della costante) non sono riuscito a capire come questa equaizone differenziale:
[tex]\frac{dv}{dt}=g- \frac{B^{2}b^{2}}{mR}v[/tex]
Possa avere come risultato TENENDO CONTO CHE PER t=0 la velocità è nulla
[tex]v=\frac{mgR}{B^{2}b^{2}}(1-e^{-\frac{B^{2}b^{2}t}{mR}})[/tex]
i termini B, b,m,R,g Sono costanti
Risposte
La scrivo per semplicità così: [tex]$v'=g-a v$[/tex]. Ora quello che devi fare è semplicemente integrare una equazione differenziale lineare, per cui
[tex]$v'+av=g\ \Rightarrow\ (v e^{at})'=g e^{at}$[/tex]
e a questo punto integri tra $t=0$ e $t$ ottenendo a primo membro
[tex]$\int_0^t (v e^{as})'\ ds=\left[v(s) e^{as}\right]_0^t=v(t) e^{at}-v(0)$[/tex]
mentre a secondo memebro
[tex]$\int_0^t g e^{as}\ ds=\left[\frac{g}{a} e^{as}\right]_0^t=\frac{g}{a}(e^{at}-1)$[/tex]
da cui
[tex]$v(t) e^{at}-v(0)=\frac{g}{a}(e^{at}-1)$[/tex]
o anche
[tex]$v(t)=\frac{g}{a} e^{-at}(e^{at}-1)=\frac{g}{a}(1-e^{-at})$[/tex]
[tex]$v'+av=g\ \Rightarrow\ (v e^{at})'=g e^{at}$[/tex]
e a questo punto integri tra $t=0$ e $t$ ottenendo a primo membro
[tex]$\int_0^t (v e^{as})'\ ds=\left[v(s) e^{as}\right]_0^t=v(t) e^{at}-v(0)$[/tex]
mentre a secondo memebro
[tex]$\int_0^t g e^{as}\ ds=\left[\frac{g}{a} e^{as}\right]_0^t=\frac{g}{a}(e^{at}-1)$[/tex]
da cui
[tex]$v(t) e^{at}-v(0)=\frac{g}{a}(e^{at}-1)$[/tex]
o anche
[tex]$v(t)=\frac{g}{a} e^{-at}(e^{at}-1)=\frac{g}{a}(1-e^{-at})$[/tex]
Ho provato anch'io a risolverla, provo a postare la soluzione, anche se mi viene diversa da ciampax (e di sicuro sarò io quello che ha sbagliato 
)
$v(t)+1/a*v'(t)=g/a$
Poi uso la formula $v(t)=e^(-A(t)) *[\int e^(A(t)) * g/a dt + c]$, dove c è una costante e dove $A(t)$ è una primitiva arbitraria di $1/a$. Essendo $a$ costante, scelgo $A(t)=1/a*t$
Risolvendo i calcoli mi viene $v(t)=g+c*e^(-t/a)$, ed imponendo la condizione iniziale $v(t)=g(1-e^(-t/a))$
)$v(t)+1/a*v'(t)=g/a$
Poi uso la formula $v(t)=e^(-A(t)) *[\int e^(A(t)) * g/a dt + c]$, dove c è una costante e dove $A(t)$ è una primitiva arbitraria di $1/a$. Essendo $a$ costante, scelgo $A(t)=1/a*t$
Risolvendo i calcoli mi viene $v(t)=g+c*e^(-t/a)$, ed imponendo la condizione iniziale $v(t)=g(1-e^(-t/a))$
Lorenzo, perché dividi per $a$ la derivata di $v$????
Per poter applicare la formula risolutiva per le equazioni lineari che ho usato, è necessario che il coefficiente di $v(t)$ sia 1, quindi ho diviso.
Probabilmente esistono metodi molto generali per risolverle, ma questo è l'unico che abbiamo studiato all'università...
Probabilmente esistono metodi molto generali per risolverle, ma questo è l'unico che abbiamo studiato all'università...
Lorenzo, guarda che ti confondi: è il coefficiente di $v'$ a dover essere 1.
Gaffe mia, prova ulteriore di cosa succede quando si imparano le cose a memoria, basta non usarle per un po di tempo che subito ci si confonde
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