Equazione differenziale

[giggio1990]

$y' + 2= cos (2x+y-3) $

ho risolto quest equazione ponendo 2x + y=z
alla fine il risultato che mi trovo è $ ln ((sin ((2x+y-3)/2) + cos((2x+y-3)/2))/ ((-sin ((2x+y-3)/2) + cos((2x+y-3)/2)))=x+c $
pero sul libro c è un altro risultato..qualcuno di buona volonta che vuole verificare e farmi sapere il risultato??non ci vuole molto..grazie!

[gugo82]

Probabilmente era meglio fare direttamente la sostituzione [tex]$z(x)=2x+y(x)-3$[/tex], visto che in tal caso l'equazione diveniva:

[tex]$z^\prime =\cos z$[/tex].

Tale equazione è a variabili separabili e si integra come sai; il risultato in forma implicita è dato da:

[tex]$2\text{ar} \! \tanh \tan \frac{z}{2} =x+c$[/tex];

ricordato che [tex]$\text{ar}\! \tanh \zeta =\frac{1}{2}\ \ln \frac{1+\zeta}{1-\zeta}$[/tex], il risultato si scrive:

[tex]$\ln \frac{\cos \frac{z}{2} +\sin \frac{z}{2}}{\cos \frac{z}{2} -\sin \frac{z}{2}}=x+c$[/tex]

da cui puoi ritrovare il tuo sostituendo a ritroso [tex]$z(x)=2x+y(x)-3$[/tex].
Quindi mi pare tutto a posto.


P.S.: Ma che risultato c'è sul libro?

[giggio1990]

$ ln ((sin ((x)/2) + cos((x)/2))/ ((-sin ((x)/2) + cos((x)/2)))=x+c $
quindi ti trovi come me???

[gugo82]

Probabilmente si tratta di un errore di stampa.
Che libro è? (Se ce l'ho, controllo.)

[giggio1990]

è un libro del mio prof dell uni!verso l esame di mat 2 si intitola!
anche questa non mi trovo
$ y'=ysinx - (sinx +1/(e^(-cosx)))y^2 $

mi trovo $ (y(x))^-1=1+xe^(cosx) +ce^(cosx) $

sul libro c è $ (y(x))^-1=c+xe^(cosx) $

[gugo82]

Di nuovo giusto il tuo risultato (che si ottiene con la sostituzione [tex]$z(x)=\tfrac{1}{y(x)}$[/tex], vero?).

Da'ltra parte, se vuoi verificare la correttezza del risultato (tuo o del testo), basta derivarlo ed infilarlo dentro l'equazione: se viene un'identità tutto a posto, altrimenti c'è qualcosa che non va.

[giggio1990]

sisi grazie mille!