Equazione differenziale
ciao a tutti non riesco a risolvere questo esercizio:$2xyy'=y^2-x^2+1$ allora inizialmente ho diviso tutto per 2xy e trovo un'equazione che a me sembra di bernoulli perchè ottengo $y'=(1/(2x))y-(x^2+1/(2x))y^(-1)$ a questo punto divido per $y^(-1)$ in modo da poter fare la sostituzione prevista per risolvere un'equazione di bernoulli e ottengo $y/(y^(-1))=(1/(2x))y^2-((x^2+1)/(2x))$ ma non riesco a proseguire,qualche consiglio????
Risposte
Fossi in te porrei $z = y^2$. Ti ritrovi con l'equazione $xz' = z - x^2 +1$, la cui omogenea è a variabili separabili, facilmente integrabile... Continuo a svolgerla se ti va, e casomai dopo confrontiamo i risultati!
non dovrebbe essere $4xz'=z-x^2+1$
Perchè? $ z = y^2 \to z' = 2yy' $. Al primo membro hai $2yy' \cdot x = z'x$
si si hai ragione,ho fatto confusione io
ma non posso risolverla direttamente come equazione non omogenea del primo ordine??
che stupido stavo sbagliando di nuovo lasciate perdere l'ultima domanda
Puoi risolverla come vuoi, a me non piace usare le soluzioni preconfezionate, quindi l'ho risolta integrando l'omogenea e calcolandomi la particolare a parte.
Per la cronaca, comunque, a me è venuta$ y= \sqrt{ kx -x^2 -1 } $, dimmi poi come viene a te!
Per la cronaca, comunque, a me è venuta$ y= \sqrt{ kx -x^2 -1 } $, dimmi poi come viene a te!
allora seguendo un pò qualche esercizio svolto dal libro ho notato che dopo aver trovato le soluzioni,prende quest'ultime e le scrive come potenze di e cioè la mia soluzione è $y=sqrt(x^2+e^(x^2/2)+e^c$,comunque considera che non ho molta praticità con le differenziale ho fatto troppi pochi esercizi ancora e quindi potrei aver commesso errori da pena di morte 
Mmm.. spiega il tuo procedimento! Io non ne faccio da un pò, non vorrei aver sbagliato io! Comunque non è che il libro le mette come potenze di e così a cavolo, dipende dal tipo di equazione e dal procedimento che usa!
Fammi vedere un pò i tuoi calcoli, così posso capirti!
Fammi vedere un pò i tuoi calcoli, così posso capirti!
allora l'equazione di partenza era $xz'=z-x^2+1$ quindi divido per x e ottengo $z'=(z/x)-x+(1/x)$ separo le variabili,integro e ottengo $log|z|=2log|x|-(x^2/2)+c$ per eliminare il logaritmo uso l'elevamento a potenza di e,poi sostituisco z=y^2 e ottengo la soluzione y=$sqrt(x^2-e^(x^2/2)+e^c)$
Mmm... ma quella non è omogenea! L'omogenea è: $xz' = z \to z'/z = 1/x $ integri ed hai $lnz =lnx + c \to z = e^cx=kx$.
Fai variare la costante in modo da avere una soluzione $\varphi(x) = \gamma(x)x$, e quindi $\varphi'(x) = \gamma'(x)x + \gamma(x)$
Sostituisci nell'equazione lineare ed hai:
$ [ \gamma'(x)x + \gamma(x)]x = \gamma(x)x - x^2 + 1 $ da cui deduci $\gamma'(x) = -1+1/x^2$
Integri... $\gamma(x) = -x -1/x$. Sostituisci in $\varphi(x)$ ed ottieni $\varphi(x)= -x^2 -1$, che è soluzione particolare. La sommi alla famiglia delle soluzioni dell'omogenea ed hai:
$z = kx - x^2 -1$ e poi riportandoti in y, ( ricordando che z è soluzione POSITIVA ) hai $y = \sqrt(kx - x^2 -1)$.
Se ho toppato qualcuno mi corregga!
Fai variare la costante in modo da avere una soluzione $\varphi(x) = \gamma(x)x$, e quindi $\varphi'(x) = \gamma'(x)x + \gamma(x)$
Sostituisci nell'equazione lineare ed hai:
$ [ \gamma'(x)x + \gamma(x)]x = \gamma(x)x - x^2 + 1 $ da cui deduci $\gamma'(x) = -1+1/x^2$
Integri... $\gamma(x) = -x -1/x$. Sostituisci in $\varphi(x)$ ed ottieni $\varphi(x)= -x^2 -1$, che è soluzione particolare. La sommi alla famiglia delle soluzioni dell'omogenea ed hai:
$z = kx - x^2 -1$ e poi riportandoti in y, ( ricordando che z è soluzione POSITIVA ) hai $y = \sqrt(kx - x^2 -1)$.
Se ho toppato qualcuno mi corregga!
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