Equazione differenziale
Calcolare l'integrale generale di $y''-5y'-7y=4e^(-3x)$ .
Io ho fatto i seguenti passaggi :
risolvo l'equazione omogenea associata e ottengo come soluzioni $lambda=(5\pm2sqrt(13))/2$ e quindi le mie soluzioni sono
$y_1=e^(5+2sqrt(13))/2$ e $y_2=e^((5-2sqrt(13))/2)$ corretto ?
poi pongo $y_p=a*e^(-3x)$ e poi trovo le derivate e mi ricavo $a$ corretto ?
Poi il problema continua chiedendomi :
determinare le eventuali soluzioni che verificano : $y(0)=0$ e $lim_(x->+infty)y(x)=0$
e qui non so proprio cosa fare .
Grazie
Io ho fatto i seguenti passaggi :
risolvo l'equazione omogenea associata e ottengo come soluzioni $lambda=(5\pm2sqrt(13))/2$ e quindi le mie soluzioni sono
$y_1=e^(5+2sqrt(13))/2$ e $y_2=e^((5-2sqrt(13))/2)$ corretto ?
poi pongo $y_p=a*e^(-3x)$ e poi trovo le derivate e mi ricavo $a$ corretto ?
Poi il problema continua chiedendomi :
determinare le eventuali soluzioni che verificano : $y(0)=0$ e $lim_(x->+infty)y(x)=0$
e qui non so proprio cosa fare .
Grazie
Risposte
C'è qualcosa che non va.
Nel risolvere l'omogenea associata:
[tex]$\lambda^2-5\lambda - 7=0 $[/tex]
Otteniamo:
[tex]$\lambda_{1/2} = \frac{5\pm\sqrt{53}}{2}$[/tex]
Quindi la soluzione generale dell'omogenea è:
[tex]$y_0 (x,c_1,c_2) = c_1 \cdot e^{\frac{5+\sqrt{53}}{2}x } + c_2 \cdot e^{\frac{5-\sqrt{53}}{2} x}$[/tex].
Per ricercare l'integrale particolare della completa, puoi usare il metodo delle funzioni simili osservando che il termine noto:
[tex]$b(x) = 4 \cdot e^{-3x} = e^{-3x} (4cos(0x)+sen(0x))$[/tex]
Quindi una soluzione particolare della completa sarà del tipo:
[tex]$\bar{y}= Ae^{-3x}$[/tex]
derivo due volte:
[tex]$\bar{y'}= -3Ae^{-3x}$[/tex]
[tex]$\bar{y''}= 9Ae^{-3x}$[/tex]
Sostituisco nell'equazione iniziale (cioè in [tex]$y''-5y'-7y=4e^{-3x}$[/tex]), così da ottenere:
[tex]$9Ae^{-3x} + 15Ae^{-3x}-7Ae^{-3x}= 4e^{-3x}$[/tex]
[tex]$17A=4 \Leftrightarrow A=\frac{4}{17}$[/tex]
Quindi la soluzione particolare della completa è:
[tex]$\bar{y}= Ae^{-3x} = \frac{4}{17} e^{-3x} $[/tex]
L'integrale generale della completa è:
[tex]$y(x)= c_1 \cdot e^{\frac{5+\sqrt{53}}{2}x } + c_2 \cdot e^{\frac{5-\sqrt{53}}{2} x} + \frac{4}{17} e^{-3x}$[/tex]
Chiaro?
Semplicemente ti chiede di trovare quella particolare soluzione che,prima di tutto, in [tex]$x=0$[/tex] si annulla.
Cioè:
Abbiamo,precedentemente, trovato la soluzione [tex]$y(x)= c_1 \cdot e^{\frac{5+\sqrt{53}}{2}x } + c_2 \cdot e^{\frac{5-\sqrt{53}}{2} x} + \frac{4}{17} e^{-3x}$[/tex]
imponi [tex]$y(0)=0$[/tex] , cioè:
[tex]$c_1 \cdot e^{\frac{5+\sqrt{53}}{2} 0 } + c_2 \cdot e^{\frac{5-\sqrt{53}}{2} 0} + \frac{4}{17} e^{0} =0 \Leftrightarrow .....$[/tex]
Poi
risolvi il limite:
[tex]$lim_{x->+\infty} y(x)=0$[/tex] cioè:
[tex]$lim_{x->+\infty} c_1 \cdot e^{\frac{5+\sqrt{53}}{2}x } + c_2 \cdot e^{\frac{5-\sqrt{53}}{2} x} + \frac{4}{17} e^{-3x}=0 \Leftrightarrow ....$[/tex]
Metti a sistema le due condizioni che troverai in funzione di [tex]$c_1$[/tex] e [tex]$c_2$[/tex], e trova [tex]$c_1$[/tex],[tex]$c_2$[/tex]
Si tratta solo di fare un po di conti; niente di più.
Nel risolvere l'omogenea associata:
[tex]$\lambda^2-5\lambda - 7=0 $[/tex]
Otteniamo:
[tex]$\lambda_{1/2} = \frac{5\pm\sqrt{53}}{2}$[/tex]
Quindi la soluzione generale dell'omogenea è:
[tex]$y_0 (x,c_1,c_2) = c_1 \cdot e^{\frac{5+\sqrt{53}}{2}x } + c_2 \cdot e^{\frac{5-\sqrt{53}}{2} x}$[/tex].
Per ricercare l'integrale particolare della completa, puoi usare il metodo delle funzioni simili osservando che il termine noto:
[tex]$b(x) = 4 \cdot e^{-3x} = e^{-3x} (4cos(0x)+sen(0x))$[/tex]
Quindi una soluzione particolare della completa sarà del tipo:
[tex]$\bar{y}= Ae^{-3x}$[/tex]
derivo due volte:
[tex]$\bar{y'}= -3Ae^{-3x}$[/tex]
[tex]$\bar{y''}= 9Ae^{-3x}$[/tex]
Sostituisco nell'equazione iniziale (cioè in [tex]$y''-5y'-7y=4e^{-3x}$[/tex]), così da ottenere:
[tex]$9Ae^{-3x} + 15Ae^{-3x}-7Ae^{-3x}= 4e^{-3x}$[/tex]
[tex]$17A=4 \Leftrightarrow A=\frac{4}{17}$[/tex]
Quindi la soluzione particolare della completa è:
[tex]$\bar{y}= Ae^{-3x} = \frac{4}{17} e^{-3x} $[/tex]
L'integrale generale della completa è:
[tex]$y(x)= c_1 \cdot e^{\frac{5+\sqrt{53}}{2}x } + c_2 \cdot e^{\frac{5-\sqrt{53}}{2} x} + \frac{4}{17} e^{-3x}$[/tex]
Chiaro?
"Josephine":
Poi il problema continua chiedendomi :
determinare le eventuali soluzioni che verificano : $y(0)=0$ e $lim_(x->+infty)y(x)=0$
Semplicemente ti chiede di trovare quella particolare soluzione che,prima di tutto, in [tex]$x=0$[/tex] si annulla.
Cioè:
Abbiamo,precedentemente, trovato la soluzione [tex]$y(x)= c_1 \cdot e^{\frac{5+\sqrt{53}}{2}x } + c_2 \cdot e^{\frac{5-\sqrt{53}}{2} x} + \frac{4}{17} e^{-3x}$[/tex]
imponi [tex]$y(0)=0$[/tex] , cioè:
[tex]$c_1 \cdot e^{\frac{5+\sqrt{53}}{2} 0 } + c_2 \cdot e^{\frac{5-\sqrt{53}}{2} 0} + \frac{4}{17} e^{0} =0 \Leftrightarrow .....$[/tex]
Poi
risolvi il limite:
[tex]$lim_{x->+\infty} y(x)=0$[/tex] cioè:
[tex]$lim_{x->+\infty} c_1 \cdot e^{\frac{5+\sqrt{53}}{2}x } + c_2 \cdot e^{\frac{5-\sqrt{53}}{2} x} + \frac{4}{17} e^{-3x}=0 \Leftrightarrow ....$[/tex]
Metti a sistema le due condizioni che troverai in funzione di [tex]$c_1$[/tex] e [tex]$c_2$[/tex], e trova [tex]$c_1$[/tex],[tex]$c_2$[/tex]
Si tratta solo di fare un po di conti; niente di più.
$lambda=(5\pmsqrt(53))/2$
hai ragione scusa un errore di calcolo
Chiaro?
si ok ottenevo lo stesso risultato tranne per l'errore
imponi $y(0)=0$
ottengo come risultato $c_1+c_2=-4/17$ corretto ?
risolvi il limite $lim_(x->+infty)y(x)=0$
risolvendo il limite ottengo : $c_1*infty+c_2*infty+0=0$ [size=150]e come la risolvo ?[/size]
non riesco a capire , dove sbaglio a fare il limite ?
Tieni presente che $ (5-sqrt(53))/2 $ è un numero negativo e quindi $c_2 e^[(5-sqrt(53))x/2] $ tende a $0 $ per $ x rarr +oo $ e questo per qualunque valore di $ c_2 $ .
Prosegui tu...
Prosegui tu...
"Camillo":
Tieni presente che $ (5-sqrt(53))/2 $ è un numero negativo e quindi $c_2 e^[(5-sqrt(53))x/2] $ tende a $0 $ per $ x rarr +oo $ e questo per qualunque valore di $ c_2 $ .
Prosegui tu...
Hai ragione ma poi ho sempre $c_1*infty=0$ e non riesco a risolverla lo stesso.
Perchè $e^((5\pmsqrt(53))/2)$ per $x->infty$ fa $infty$ ...... come proseguo ?
Dalla condizione $y(0)=0 $ ottieni che $c_1+c_2+4/17 =0 $ ok ?
Dalla condizione $lim_(x rarr +oo ) y(x) =0 $ ottieni che $c_1=0 $, in quanto $y(x) $ è la somma di tre addendi :
il primo tende all'$+oo$ e allora per evitare questo devi porre $c_1=0 $ , non c'è altra scelta
il secondo tende a $0 $ e quindi no problem
il terzo tende a $ 0 $ e quindi no problem
adesso hai $ 0+c_2 = -4/17$.
ok ?
Dalla condizione $lim_(x rarr +oo ) y(x) =0 $ ottieni che $c_1=0 $, in quanto $y(x) $ è la somma di tre addendi :
il primo tende all'$+oo$ e allora per evitare questo devi porre $c_1=0 $ , non c'è altra scelta
il secondo tende a $0 $ e quindi no problem
il terzo tende a $ 0 $ e quindi no problem
adesso hai $ 0+c_2 = -4/17$.
ok ?
ok Grazie infinite sei stato chiarissimo.
Vorrei porre un altro questiso se ho un equazione del tipo $y'''+y''+9y'+9y=senx-5e^(-x)+18$
la mia $y_p$ devo dividerla considerando prima $y_p=a*senx+b*cosx$ e poi $y_p=a*e^(-x)$ ? corretto ?
Vorrei porre un altro questiso se ho un equazione del tipo $y'''+y''+9y'+9y=senx-5e^(-x)+18$
la mia $y_p$ devo dividerla considerando prima $y_p=a*senx+b*cosx$ e poi $y_p=a*e^(-x)$ ? corretto ?
[mod="Camillo"]Deduco che Josephine e Frenky 46 siano la stessa persona.
Questo è contrario al regolamento :
2.2 Ogni utente ha diritto a un solo nickname.
Ti prego quindi di cancellare uno dei due nick [/mod]
Questo è contrario al regolamento :
2.2 Ogni utente ha diritto a un solo nickname.
Ti prego quindi di cancellare uno dei due nick [/mod]
[quote=Camillo][/quote]
No chiedo scusa, ma nn siamo la stessa persona siamo solo colleghi e a volte studiamo insieme, ho risposto con il mio nik perchè eravamo a casa mia, tutto qui, ti assicuro che nn siamo la stessa persona.
No chiedo scusa, ma nn siamo la stessa persona siamo solo colleghi e a volte studiamo insieme, ho risposto con il mio nik perchè eravamo a casa mia, tutto qui, ti assicuro che nn siamo la stessa persona.
"frenky46":
ok Grazie infinite sei stato chiarissimo.
Vorrei porre un altro questiso se ho un equazione del tipo $y'''+y''+9y'+9y=senx-5e^(-x)+18$
la mia $y_p$ devo dividerla considerando prima $y_p=a*senx+b*cosx$ e poi $y_p=a*e^(-x)$ ? corretto ?
No
ma quasiLe soluzione dell'equazione sono:
$-1,+- 3i $
Quindi nel secondo caso hai:
$y_p=a*xe^(-x)$
"faximusy":
Quindi nel secondo caso hai:
$y_p=a*xe^(-x)$
perchè una soluzione era $-1$ giusto ?
ma la prima $y_p$ era corretta giusto ?
Si, ad entrambe le domande
ok grazie mille ancora. 
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