Equazione differenziale
Lo so ragazzi...magari sembrerà un problema banale ma io ci sto sbattendo la mia testa già priva di neuroni:
I valori di [tex]\lambda[/tex] per cui vale la [tex]2\pi[/tex]-periodicità sono banalmente:
[tex]\lambda=n^2 , n \in \mathbb{N}[/tex]
E quindi l'omogenea ha soluzione data dalla combinazione lineare di [tex]\cos(nx)[/tex] e [tex]\sin(nx)[/tex]
Ora...per il calcolo particolare avrei un problema. Se seguo il suggerimento del problema e scrivo quindi la soluzione come:
[tex]u(x)=\sum_{n=1}^\infty c_n \cdot \sin(nx)[/tex]
Allora dovrei scrivere anche il termine noto come serie trigonometrica...
[tex]|sinx|=\sum_{n=1}^\infty b_n \cdot \sin(nx)[/tex]
Pensavo di dividere il problema in due parti. Quando [tex]sinx \ge 0[/tex] e quando [tex]sinx < 0[/tex]
Voi che ne pensate?
I valori di [tex]\lambda[/tex] per cui vale la [tex]2\pi[/tex]-periodicità sono banalmente:
[tex]\lambda=n^2 , n \in \mathbb{N}[/tex]
E quindi l'omogenea ha soluzione data dalla combinazione lineare di [tex]\cos(nx)[/tex] e [tex]\sin(nx)[/tex]
Ora...per il calcolo particolare avrei un problema. Se seguo il suggerimento del problema e scrivo quindi la soluzione come:
[tex]u(x)=\sum_{n=1}^\infty c_n \cdot \sin(nx)[/tex]
Allora dovrei scrivere anche il termine noto come serie trigonometrica...
[tex]|sinx|=\sum_{n=1}^\infty b_n \cdot \sin(nx)[/tex]
Pensavo di dividere il problema in due parti. Quando [tex]sinx \ge 0[/tex] e quando [tex]sinx < 0[/tex]
Voi che ne pensate?
Risposte
La soluzione è da ricercarsi in una forma del tipo:
$u(x)=Asin(x)+Bcos(x)$
e tu devi solo trovare i due coefficienti $A,B$ per fare in modo che tutto combaci! il fatto che sia $2pi$ periodico è determinato già dal fatto che seno e coseno così scritti hanno detto periodo.
$u(x)=Asin(x)+Bcos(x)$
e tu devi solo trovare i due coefficienti $A,B$ per fare in modo che tutto combaci! il fatto che sia $2pi$ periodico è determinato già dal fatto che seno e coseno così scritti hanno detto periodo.
Si ma nel suggerimento è chiaramente scritto che la soluzione è da ricercarsi come "somma di serie trigonometriche"
Quello che tu hai scritto è la somma di due termini trigonometrici...non certo una serie...
Il problema è che scrivendo una serie, questa va a banalizzare l'equazione a causa dell'autovalore [tex]n^2[/tex]
Quello che tu hai scritto è la somma di due termini trigonometrici...non certo una serie...
Il problema è che scrivendo una serie, questa va a banalizzare l'equazione a causa dell'autovalore [tex]n^2[/tex]
Cioè secondo te $\sin x$ non è una serie trigonometrica?
Riflettere prima di scrivere.
Comunque, mi sa che devi ricorrere ad una serie seria, visto il valore assoluto a secondo membro.
Riflettere prima di scrivere.
Comunque, mi sa che devi ricorrere ad una serie seria, visto il valore assoluto a secondo membro.
"Fioravante Patrone":
Cioè secondo te $\sin x$ non è una serie trigonometrica?
Riflettere prima di scrivere.
Comunque, mi sa che devi ricorrere ad una serie seria, visto il valore assoluto a secondo membro.
Scusate l'imprecisione.
Certo che $\sin x$ è una serie trigonometrica...ma pensavo di ricorrere ad una serie con un numero infinito di coefficienti diversi da zero.
Che serie mi consigliate dunque di considerare per la risoluzione del problema?
ok ragazzi...seguite la mia soluzione e ditemi se ho fatto cazzate. 
cerco la soluzione particolare nella forma:
[tex]A|sin x| + B|cos x|[/tex]
ho quindi:
[tex]u'=A{|sin x| \over sin x} cos x - B{|cos x| \over cos x}sin x =[/tex]
[tex]= A|sinx|cotg x - B|cos x| tg x[/tex]
Calcolo quindi la derivata seconda:
[tex]u''=A\left({|sin x| \over sin x}cos x \cdot cotg x - |sin x| \cdot {1 \over sin^2 x}\right) - B\left(-{|cos x| \over cos x} sin x \cdot tg x + {|cos x| \over cos^2 x } \right)[/tex]
Cerchiamo i coefficienti A e B andando a sostituire nell'eq di partenza che ricordiamo era:
[tex]u'' + n^2 u = |sin x|[/tex]
ottenendo:
naturalmente $ B=0 $ in quanto non contiene alcun termine in [tex]|sin x|[/tex]
e per $ A $ abbiamo:
[tex]A\left(|sin x| \cdot cotg^2 x - {|sin x| \over sin^2 x} + n^2 \cdot |sin x|\right) = |sinx|[/tex]
Da cui (essendo [tex]cotg^2 x = {{cos^2 x}\over{sin^2 x}}[/tex]:
[tex]A\left({{cos^2 x - 1}\over{sin^2 x}} + n^2\right) \cdot |sinx| = |sin x|[/tex]
Ed essendo a sua volta [tex]{{cos^2 x - 1}\over{sin^2 x}} = -1[/tex] sfruttando [tex]1=cos^2 x + sin^2 x[/tex]
si ha:
[tex]A \cdot (n^2 - 1) = 1[/tex] da cui [tex]A = {1 \over {n^2 - 1}}[/tex]
che mi dite?
naturalmente sostituendo nell'equazione il risultato torna...altrimenti non avrei postato...
volevo solo sapere se è lecito procedere come ho fatto io.
grazie in anticipo.
cerco la soluzione particolare nella forma:
[tex]A|sin x| + B|cos x|[/tex]
ho quindi:
[tex]u'=A{|sin x| \over sin x} cos x - B{|cos x| \over cos x}sin x =[/tex]
[tex]= A|sinx|cotg x - B|cos x| tg x[/tex]
Calcolo quindi la derivata seconda:
[tex]u''=A\left({|sin x| \over sin x}cos x \cdot cotg x - |sin x| \cdot {1 \over sin^2 x}\right) - B\left(-{|cos x| \over cos x} sin x \cdot tg x + {|cos x| \over cos^2 x } \right)[/tex]
Cerchiamo i coefficienti A e B andando a sostituire nell'eq di partenza che ricordiamo era:
[tex]u'' + n^2 u = |sin x|[/tex]
ottenendo:
naturalmente $ B=0 $ in quanto non contiene alcun termine in [tex]|sin x|[/tex]
e per $ A $ abbiamo:
[tex]A\left(|sin x| \cdot cotg^2 x - {|sin x| \over sin^2 x} + n^2 \cdot |sin x|\right) = |sinx|[/tex]
Da cui (essendo [tex]cotg^2 x = {{cos^2 x}\over{sin^2 x}}[/tex]:
[tex]A\left({{cos^2 x - 1}\over{sin^2 x}} + n^2\right) \cdot |sinx| = |sin x|[/tex]
Ed essendo a sua volta [tex]{{cos^2 x - 1}\over{sin^2 x}} = -1[/tex] sfruttando [tex]1=cos^2 x + sin^2 x[/tex]
si ha:
[tex]A \cdot (n^2 - 1) = 1[/tex] da cui [tex]A = {1 \over {n^2 - 1}}[/tex]
che mi dite?
naturalmente sostituendo nell'equazione il risultato torna...altrimenti non avrei postato...
volevo solo sapere se è lecito procedere come ho fatto io.
grazie in anticipo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo