Equazione differenziale
Salve
Sto iniziando a studiare le equazioni differenziali del primo ordine e mi sono imbattuto in questo esercizio che mi sta mettendo in difficoltà:
$y=xy'+(y')^2$
Da principiante quale sono, pensavo di considerare separatamente i due addendi e trattandoli quindi come due equazioni differenziali a variabili separabili.
Può essere un modo corretto? Oppure come dovrei procedere?
Grazie e saluti
Giovanni Ca.
Sto iniziando a studiare le equazioni differenziali del primo ordine e mi sono imbattuto in questo esercizio che mi sta mettendo in difficoltà:
$y=xy'+(y')^2$
Da principiante quale sono, pensavo di considerare separatamente i due addendi e trattandoli quindi come due equazioni differenziali a variabili separabili.
Può essere un modo corretto? Oppure come dovrei procedere?
Grazie e saluti
Giovanni Ca.
Risposte
1.
No, non è corretto.
2.
Ti inviterei a rivedere il testo, perché è una equadiff un po' strana.
3.
Se comunque è quella lì, hai una equadiff non in forma normale. Conviene allora provare a trasformarla in forma normale.
$y=xy'+(y')^2$ è della forma $F(x,y,y')=0$.
$F$ è una funzione di tre variabili reali, per cui la espressione scritta sopra, $F(x,y,y')=0$ mi piace poco perché rischia di essere fuorviante. Preferisco usare altri simboli:
$(x,s,t) \mapsto s-xt+t^2$
Ho quindi $s-xt+t^2=0$ che devo esplicitare rispetto a $t$.
Non è difficile, visto che è una equazione di secondo grado in $t$. Verranno fuori due soluzioni, il che vuol dire che avremo due formule esplicite che varranno in zone diverse di $RR^3$.
Comunque, fatto questo, ragionerei sulla equazione (magari un tantinino orribile) in forma normale che mi sono trovato...
No, non è corretto.
2.
Ti inviterei a rivedere il testo, perché è una equadiff un po' strana.
3.
Se comunque è quella lì, hai una equadiff non in forma normale. Conviene allora provare a trasformarla in forma normale.
$y=xy'+(y')^2$ è della forma $F(x,y,y')=0$.
$F$ è una funzione di tre variabili reali, per cui la espressione scritta sopra, $F(x,y,y')=0$ mi piace poco perché rischia di essere fuorviante. Preferisco usare altri simboli:
$(x,s,t) \mapsto s-xt+t^2$
Ho quindi $s-xt+t^2=0$ che devo esplicitare rispetto a $t$.
Non è difficile, visto che è una equazione di secondo grado in $t$. Verranno fuori due soluzioni, il che vuol dire che avremo due formule esplicite che varranno in zone diverse di $RR^3$.
Comunque, fatto questo, ragionerei sulla equazione (magari un tantinino orribile) in forma normale che mi sono trovato...
E' un'equazione di Clairaut, vale a dire un'equazione differenziale non in forma normale del tipo $y = x y' + f(y')$, con $f: I\to RR$ funzione derivabile.
Si risolve ponendo $y' = p$.
Si ottiene un integrale generale del tipo $y = cx + f(c)$, $c\in I$, a cui si deve aggiungere un integrale singolare in forma parametrica
$x = - f'(p), y = -p f'(p) + f(p)$, che è l'inviluppo della famiglia di rette date dall'integrale generale.
Si risolve ponendo $y' = p$.
Si ottiene un integrale generale del tipo $y = cx + f(c)$, $c\in I$, a cui si deve aggiungere un integrale singolare in forma parametrica
$x = - f'(p), y = -p f'(p) + f(p)$, che è l'inviluppo della famiglia di rette date dall'integrale generale.
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