Equazione differenziale
Buonasera a tutti.
Tra le mani oggi mi è capitata questa equazione differenziale:
$y'(x)= -\frac{x}{y(x)}$
E' un'equazione differenziale a variabili separabili, con $a(x)= -x, b(y)= 1/y$:
$a(x)$ è continua su tutto $\mathbb{R}$ mentre la funzione b(y) è continua e derivabile in
$(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$(qua ho un problema perchè non abbiamo un intervallo ma unione di due intervalli).
Procedendo con il metodo arrivo a
$\int y(x)y'(x) dx=-\int x dx$ da cui
${y(x)^2}/2= -x^2/2+C$ con C costante reale
di conseguenza $y(x)=\sqrt(2C-x^2)$
ma anche $y(x)=-\sqrt(2C-x^2)$
Ottengo cioè due famiglie di soiluzioni che differiscono del segno.
Ebbene come posso interpretare questo risultato?
Ho l'impressione che la scelta dell'una o dell'altra famiglia dipenda dalle condizioni iniziali, è esatto?
Tra le mani oggi mi è capitata questa equazione differenziale:
$y'(x)= -\frac{x}{y(x)}$
E' un'equazione differenziale a variabili separabili, con $a(x)= -x, b(y)= 1/y$:
$a(x)$ è continua su tutto $\mathbb{R}$ mentre la funzione b(y) è continua e derivabile in
$(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$(qua ho un problema perchè non abbiamo un intervallo ma unione di due intervalli).
Procedendo con il metodo arrivo a
$\int y(x)y'(x) dx=-\int x dx$ da cui
${y(x)^2}/2= -x^2/2+C$ con C costante reale
di conseguenza $y(x)=\sqrt(2C-x^2)$
ma anche $y(x)=-\sqrt(2C-x^2)$
Ottengo cioè due famiglie di soiluzioni che differiscono del segno.
Ebbene come posso interpretare questo risultato?
Ho l'impressione che la scelta dell'una o dell'altra famiglia dipenda dalle condizioni iniziali, è esatto?
Risposte
Nessuno mi può aiutare a chiarire questo dubbio?
[mod="Fioravante Patrone"]Cito dal regolamento:
3.4 Evitare sollecitazioni del tipo "up" per almeno 3 giorni dalla domanda posta: il forum è frequentato e animato da appassionati che non hanno nessun obbligo di risposta. [/mod]
3.4 Evitare sollecitazioni del tipo "up" per almeno 3 giorni dalla domanda posta: il forum è frequentato e animato da appassionati che non hanno nessun obbligo di risposta. [/mod]
Purtroppo non posso rispondere in maniera approfondita per mancanza di tempo; il tuo problema è simile a quello di cui discutemmo un annetto fa qui:
https://www.matematicamente.it/forum/anc ... 31109.html
Intuitivamente tu hai trovato dei "pezzi" di soluzione e adesso tocca capire come si possono incollare.
https://www.matematicamente.it/forum/anc ... 31109.html
Intuitivamente tu hai trovato dei "pezzi" di soluzione e adesso tocca capire come si possono incollare.
"Mathematico":
Ho l'impressione che la scelta dell'una o dell'altra famiglia dipenda dalle condizioni iniziali, è esatto?
Esatto.
Lo puoi vedere bene se risolvi un problema di Cauchy. Ovvero, se aggiungi alla equazione differenziale anche una c.i. del tipo $y(x_0) = y_0$.
Quindi, risolviamo:
$y'(x)= -\frac{x}{y(x)}$, con $y(x_0) = y_0$.
Se $y_0 > 0$, la soluzione massimale di questo problema di Cauchy (che esiste ed è unica) sarà tale per cui $y(x) > 0$ per ogni $x$ appartenente al suo intervallo di definizione (vedi "firma" sotto).
A questo punto penso si possano omettere i dettagli: dovrebbe essere evidente che la soluzione è quella che hai trovato (ovviamente per $C$ oppotuna) "col + davanti la radice".
Tutto chiaro!! Vi ringrazio entrambi per la disponibilità. Non ci avrei dormito stanotte se qualcuno non mi avesse chiarito le cose.
[OT\]
@Fioravante Patrone, ma è lei che ha scritto le dispense sul metodo urang? E' proprio lei? Io mi inchino
[\OT]
[OT\]
@Fioravante Patrone, ma è lei che ha scritto le dispense sul metodo urang? E' proprio lei? Io mi inchino
[\OT]
Sì, le ho scritte proprio io, ma sotto dettatura del mio scimmione preferito 
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