Equazione differenziale
Ciao, qualcuno può aiutarmi con questa?
y'''(x)-3y''(x)+2y'(x)=-4
a) l'integrale generale è:
b)la soluzione y(0)=0 y'(0)=-2 y''(0)=4 è y(x)=
grazie
y'''(x)-3y''(x)+2y'(x)=-4
a) l'integrale generale è:
b)la soluzione y(0)=0 y'(0)=-2 y''(0)=4 è y(x)=
grazie
Risposte
"px150":
Ciao, qualcuno può aiutarmi con questa?
y'''(x)-3y''(x)+2y'(x)=-4
a) l'integrale generale è:
b)la soluzione y(0)=0 y'(0)=-2 y''(0)=4 è y(x)=
grazie
Omogenea:
Polinomio caratteristico: $lambda^3 -3*lambda^2 + 2*lambda=0$ e trovi $lambda=0$, $lambda=2$, $lambda=1$
e la soluzione dell'omogenea è $y(x)=C_1 + C_2 *e^(2x) + C_3*e^(x)$
"px150":
Ciao, qualcuno può aiutarmi con questa?
y'''(x)-3y''(x)+2y'(x)=-4
a) l'integrale generale è:
b)la soluzione y(0)=0 y'(0)=-2 y''(0)=4 è y(x)=
grazie
Inomogenea: soluzione particolare della forma $y(x)=alpha*x
e ottieni $alpha=-2$ e quindi la soluzione particolare è $y(x)= -2*x$
Soluzione generale: soluzione particolare + soluzione omogenea (nel post sopra).
Ciao.
Grazie nirvana, scusate la mia immensa ignoranza in materia, ma vi chiedo ancora una cosa:
la soluzione è del tipo:
$y(x)=c_1+c_2e^(2x)+c_3e^x+z(x)$
1)Come arrivo a trovare che la soluzione particolare è z(x)=-2x?
2)Dopo aver ottenuto z(x)=-2x derivo per ottenere y'(x) e y''(x):
$y'(x)=2c_2e^(2x)+c_3e^x-2$ ; $y''(x)=4c_2e^(2x)+c_3$ giusto?
3)A questo punto devo trovare i valori delle costanti che mi diano
y(0)=0 y'(0)=-2 y''(0)=4 come li ottengo?
Grazie.
la soluzione è del tipo:
$y(x)=c_1+c_2e^(2x)+c_3e^x+z(x)$
1)Come arrivo a trovare che la soluzione particolare è z(x)=-2x?
2)Dopo aver ottenuto z(x)=-2x derivo per ottenere y'(x) e y''(x):
$y'(x)=2c_2e^(2x)+c_3e^x-2$ ; $y''(x)=4c_2e^(2x)+c_3$ giusto?
3)A questo punto devo trovare i valori delle costanti che mi diano
y(0)=0 y'(0)=-2 y''(0)=4 come li ottengo?
Grazie.
Forse fai un po' di confusione:
Tu hai un'equazione non omogenea. La risolvi così:
Prendi l'omogenea e ne trovi l'integral generale ossia l'insieme delle soluzioni (che nel tuo caso è uno spazio vettoriale di dimensione 3).
Nella fattispecie hai $V_0={C_1+C_2e^(2x)+C_3e^x : C_1,C_2,C_3 in RR}$.
Poi consideri che l'insieme $V_(-4)$ delle soluzioni della non omogenea è dato da $v_(-4)+V_0$ ove $v_(-4)$ è una qualunque soluzione della non omogenea. Allora dobbiamo trovarne una e le sapremo tutte.
Ci sono vari metodi, il principale in questi casi è quello cosiddetto della variazione delle costanti arbitrarie. Però siccome l'equazione è semplice Nirvana ha "provato" una funzione semplice del tipo $y(x)=alphax$ e ha visto che c'è una soluione di questo tipo. Come si fa a vedere? così:
$y(x)=alphax$
$y'(x)=alpha$
$y''(x)=0$
$y'''(x)=0$
Sostituisci nell'equazione e ricavi quale alfa va bene:
$2alpha=-4 => alpha=-2$
Quindi sai che $y(x)=-2x$ è una soluzione della non omogenea.
Allora la soluzione generale della non omogenea è $V_(-4)={C_1+C_2e^(2x)+C_3e^x -2x: C_1,C_2,C_3 in RR}$
Poi devi risolvere un problema di Cauchy cioè devi trovare di queste (infinite) funzioni di $V_(-4)$ quale rispetta quelle condizioni al contorno.
Allora derivi (come hai fatto tu) e imponi le condizioni al contorno. Otterrai un sistemino che risolto ti dà i valori delle tre costanti che indentificano univocamente la soluzione particolare da te cercata.
Chiaro?
Tu hai un'equazione non omogenea. La risolvi così:
Prendi l'omogenea e ne trovi l'integral generale ossia l'insieme delle soluzioni (che nel tuo caso è uno spazio vettoriale di dimensione 3).
Nella fattispecie hai $V_0={C_1+C_2e^(2x)+C_3e^x : C_1,C_2,C_3 in RR}$.
Poi consideri che l'insieme $V_(-4)$ delle soluzioni della non omogenea è dato da $v_(-4)+V_0$ ove $v_(-4)$ è una qualunque soluzione della non omogenea. Allora dobbiamo trovarne una e le sapremo tutte.
Ci sono vari metodi, il principale in questi casi è quello cosiddetto della variazione delle costanti arbitrarie. Però siccome l'equazione è semplice Nirvana ha "provato" una funzione semplice del tipo $y(x)=alphax$ e ha visto che c'è una soluione di questo tipo. Come si fa a vedere? così:
$y(x)=alphax$
$y'(x)=alpha$
$y''(x)=0$
$y'''(x)=0$
Sostituisci nell'equazione e ricavi quale alfa va bene:
$2alpha=-4 => alpha=-2$
Quindi sai che $y(x)=-2x$ è una soluzione della non omogenea.
Allora la soluzione generale della non omogenea è $V_(-4)={C_1+C_2e^(2x)+C_3e^x -2x: C_1,C_2,C_3 in RR}$
Poi devi risolvere un problema di Cauchy cioè devi trovare di queste (infinite) funzioni di $V_(-4)$ quale rispetta quelle condizioni al contorno.
Allora derivi (come hai fatto tu) e imponi le condizioni al contorno. Otterrai un sistemino che risolto ti dà i valori delle tre costanti che indentificano univocamente la soluzione particolare da te cercata.
Chiaro?
"Megan00b":
Forse fai un po' di confusione:
Tu hai un'equazione non omogenea. La risolvi così:
Prendi l'omogenea e ne trovi l'integral generale ossia l'insieme delle soluzioni (che nel tuo caso è uno spazio vettoriale di dimensione 3).
Nella fattispecie hai $V_0={C_1+C_2e^(2x)+C_3e^x : C_1,C_2,C_3 in RR}$.
Poi consideri che l'insieme $V_(-4)$ delle soluzioni della non omogenea è dato da $v_(-4)+V_0$ ove $v_(-4)$ è una qualunque soluzione della non omogenea. Allora dobbiamo trovarne una e le sapremo tutte.
Ci sono vari metodi, il principale in questi casi è quello cosiddetto della variazione delle costanti arbitrarie. Però siccome l'equazione è semplice Nirvana ha "provato" una funzione semplice del tipo $y(x)=alphax$ e ha visto che c'è una soluione di questo tipo. Come si fa a vedere? così:
$y(x)=alphax$
$y'(x)=alpha$
$y''(x)=0$
$y'''(x)=0$
Sostituisci nell'equazione e ricavi quale alfa va bene:
$2alpha=-4 => alpha=-2$
Quindi sai che $y(x)=-2x$ è una soluzione della non omogenea.
Allora la soluzione generale della non omogenea è $V_(-4)={C_1+C_2e^(2x)+C_3e^x -2x: C_1,C_2,C_3 in RR}$
Poi devi risolvere un problema di Cauchy cioè devi trovare di queste (infinite) funzioni di $V_(-4)$ quale rispetta quelle condizioni al contorno.
Allora derivi (come hai fatto tu) e imponi le condizioni al contorno. Otterrai un sistemino che risolto ti dà i valori delle tre costanti che indentificano univocamente la soluzione particolare da te cercata.
Chiaro?
Grazie megan00b, se ho capito la soluzione cercata dovrebbe essere:
$c_1=3 ; c_2=1 ; c_3=-4$
$y(x)=3+e^(2x)-4e^x-2x$
giusto?
Non torna. Infatti se provi a calcolare le derivate della funzione che hai trovato e ad imporre le condizioni al bordo vedrai che la condizione sulla derivata prima e seconda non tornano.
A me vengono i coefficienti 2,2,-4. Ricontrolla i conti.
A me vengono i coefficienti 2,2,-4. Ricontrolla i conti.
"Megan00b":
Non torna. Infatti se provi a calcolare le derivate della funzione che hai trovato e ad imporre le condizioni al bordo vedrai che la condizione sulla derivata prima e seconda non tornano.
A me vengono i coefficienti 2,2,-4. Ricontrolla i conti.
Ovviamente hai ragione, avevo sbagliato i conti.
Grazie per l'aiuto e per la pazienza.
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