Equazione differenziale
non riesco a risolvere il problema
$ t x' - x + x^2 = 0,
$ x(0) = 0.
il mio problema è che mi ritrovo a dover integrare $1/x$ da $0$ a $x$.
inoltre ho letto che dovrei avere soluzioni non banali solo se $x \rarr 1$ per $t \rarr oo$. come si vede?
dove sbaglio?
$ t x' - x + x^2 = 0,
$ x(0) = 0.
il mio problema è che mi ritrovo a dover integrare $1/x$ da $0$ a $x$.
inoltre ho letto che dovrei avere soluzioni non banali solo se $x \rarr 1$ per $t \rarr oo$. come si vede?
dove sbaglio?
Risposte
...neanche un suggerimento?
"Nebula":
non riesco a risolvere il problema
$ t x' - x + x^2 = 0,
$ x(0) = 0.
il mio problema è che mi ritrovo a dover integrare $1/x$ da $0$ a $x$.
inoltre ho letto che dovrei avere soluzioni non banali solo se $x \rarr 1$ per $t \rarr oo$. come si vede?
dove sbaglio?
Se separi le variabili
$-(dx)/(x^2 - x) = (dt)/t$
trovi una famiglia di soluzioni al problema
$x_c(t):=(ct)/(ct-1),\quad c\in RR$.
Sia $x:I->RR$ una soluzione del problema definita in un intervallo aperto $I$ contenente $0$. Supponiamo che $I$ sia dominio massimale di $x$. Sia $(x_0,t_0)\in I$ con $t_0>0$ e $0
Se $x_0<0$, allora il dominio massimale di $y$ è $J:=(-oo,1/c)$ con $c>0$. Per il Teorema di unicità locale, applicabile ad ogni punto di $RR^2\setminus {(0,x)|x\in RR}$, segue che $I=J$ e ivi $x=y$. Così
$lim_{t\to-oo} x(t)=lim_{t\to-oo}(ct)/(ct-1)=1$.
Analogamente, $x_0>0$, allora il dominio massimale di $y$ è $J:=(1/c,oo)$ con $c<0$. Per il Teorema di unicità locale, segue che $I=J$ e ivi $x=y$. Così
$lim_{t\tooo} x(t)=lim_{t\tooo}(ct)/(ct-1)=1$.
Spero di non scrivere stupidaggini...in caso qualcuno corregga al più presto...anche perché la matematica è solo una mia passione e non sono un "professionista"!!dopo questa premessa, suggerisco a Nebula di risolvere l'equazione separando le variabili..anzi si notano subito ad occhio due soluzioni dell'equazione che sono $x=0$ e $x=1$...alla fine si deciderà se sono due integrali particolari o singolari....tornando al procedimento.
$tx'-x+x^2=0$
$x'=\frac{x-x^2}{t}$ scrivo la derivata come rapporto di differenziali...
$\frac{dx}{dt}=\frac{x-x^2}{t}$
$\frac{1}{x-x^2}dx=\frac{1}{t}dt$ integrando ambo i membri
$\int \frac{1}{x-x^2}dx= \int \frac{1}{t}dt$
$\int \frac{1}{x}dx + \int \frac{1}{1-x}dx= ln|t|+c$
$ln|x|-ln|1-x|=ln|t|+ln|c|$ utilizzando le proprietà dei logaritmi e indicando per comodità la costante come $ln|c|$
$ln\frac{x}{1-x}=ln|tc|$passando dai logaritmi ai numeri
$\frac{x}{1-x}=tc$ ricavando la $x$
$x=\frac{ct}{1+ct}$ che rappresenta l'integrale generale e le due soluzioni $x=0$ e $x=1$ si ricavano rispettivamente ponendo $C=0$ e facendo tendere $C \rightarrow +\infty$ quindi rappresentano due integrali particolari.
Tornando al problema inserendo le condizioni iniziali $x(0)=0$ ottengo l'identità $0=0$ quindi non saprei dirti ora cosa implica questo...spero che qualcuno intervenga a dare spiegazioni...anche perché ora mi sono incuriosito anch'io...
ps sperando sempre che il procedimento che ho seguito sia giusto...!!ciao Nebula
!
$tx'-x+x^2=0$
$x'=\frac{x-x^2}{t}$ scrivo la derivata come rapporto di differenziali...
$\frac{dx}{dt}=\frac{x-x^2}{t}$
$\frac{1}{x-x^2}dx=\frac{1}{t}dt$ integrando ambo i membri
$\int \frac{1}{x-x^2}dx= \int \frac{1}{t}dt$
$\int \frac{1}{x}dx + \int \frac{1}{1-x}dx= ln|t|+c$
$ln|x|-ln|1-x|=ln|t|+ln|c|$ utilizzando le proprietà dei logaritmi e indicando per comodità la costante come $ln|c|$
$ln\frac{x}{1-x}=ln|tc|$passando dai logaritmi ai numeri
$\frac{x}{1-x}=tc$ ricavando la $x$
$x=\frac{ct}{1+ct}$ che rappresenta l'integrale generale e le due soluzioni $x=0$ e $x=1$ si ricavano rispettivamente ponendo $C=0$ e facendo tendere $C \rightarrow +\infty$ quindi rappresentano due integrali particolari.
Tornando al problema inserendo le condizioni iniziali $x(0)=0$ ottengo l'identità $0=0$ quindi non saprei dirti ora cosa implica questo...spero che qualcuno intervenga a dare spiegazioni...anche perché ora mi sono incuriosito anch'io...
ps sperando sempre che il procedimento che ho seguito sia giusto...!!ciao Nebula
!
scusa ficus2002 non volevo farti da eco ma non mi ero per niente accorto che qualcuno aveva risposto prima di me... 
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