Equazione Differenziale

[p4ngm4n]

ho un lapsus... come si risolve quest'equazione differenziale del primo ordine?

$y^{\prime}=(1+x^2)/(1+y^2)$

a variabili separabili???

[_Tipper]

Moltiplicando ambo i membri per $1+y^2$ si ottiene

$(1+y^2)y' = 1+x^2$

e integrando

$\int (1+y^2) y' dx = \int (1+x^2) dx$

che equivale a

$\int (1+y^2) dy = \int (1+x^2) dx$

[p4ngm4n]

che stupido $y^{\prime}$ non lo consideravo $dy$ una volta ottenuto:

$y+y^3/3=x+x^3/3$ come faccio a ricacavarmi y?

[_Tipper]

Questo è un problema... potresti usare la formula di Cardano per le equazioni di terzo grado.

[p4ngm4n]

non la conosco questa formula, ma non credo che l'esercizio voglia che venga fuori una cosa del genere. Forse l'equazione si può risolvere anche con qualche sostituzione???

[_Tipper]

Ammetto la mia ignoranza, ma non saprei con quale altro metodo risolverla...

[p4ngm4n]

ok vediamo se qualcuno lo sa...
Grazie cmq Tipper

[f.bisecco]

Possiamo affermare che

$(1+y^2)dy-(1+x^2)dx è una forma differenziale "esatta".
Ha come dominio tutto $R$
ed essendo $(d/dy)(-(1+x^2))=(d/dx)(1+y^2)=0

Si può calcolare facilmente una primitiva.....

[f.bisecco]

scusa la scrittura volevo dire

$(1+y^2)dy-(1+x^2)dx$ è una forma differenziale esatta in quanto definita in tutto il piano.

inoltre d/dy(-1-x^2)=d/dx(1+y^2)=0

perciò è immediata la primitiva...

[f.bisecco]

quando si hanno questi tipi di equazioni differenziali si va a studiare la forma differenziale e dopo aver controllato
che è esatta ed è chiusa si calcola una primitiva della forma differenziale.

infine la famiglia di soluzioni dell'equazione differenziale sarà

$F(x,y)=c$ dove $F(x,y)$ è una primitiva della forma differenziale...

[f.bisecco]

ok??

[f.bisecco]

Se sei in grado di calcolarti la primitiva ti accorgi che il risultato è proprio quello che Tipper ha dato...questo per dirti che non è impossibile anzi il risultato è proprio quello!ciaoooo

[p4ngm4n]

si ok grazie!!!