Equazione differenziale
Per quali valori $y_0=y(0)$ il problema al valore iniziale
${(y'-4x(y^2-4)=0),(y_0=y(0)):}$
ha una soluzione definita in grande?
${(y'-4x(y^2-4)=0),(y_0=y(0)):}$
ha una soluzione definita in grande?
Risposte
... che significa 'soluzione definita in grande'?... non vorrei essere prolisso ma... per caso ci sono anche 'soluzioni definite in piccolo'?... 
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
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lupo grigio
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La ricerca della soluzione ad un problema 'di Cauchy' dà risultati di carattere locale, ossia nell'intorno di un $x_0$, per cui si parla di soluzioni 'in piccolo' (non è come nel problema della ricerca di una primitiva).
Le soluzioni 'in grande' sono quelle che si ottengono su un dominio prescritto, in questo caso il dominio della funzione $a(x)=4x$, vale a dire $dom(a)=RR$.
Le soluzioni 'in grande' sono quelle che si ottengono su un dominio prescritto, in questo caso il dominio della funzione $a(x)=4x$, vale a dire $dom(a)=RR$.
Se fai un rapido studio del segno di $4x(y^2-4)$ concludi facilmente, grazie alla teoria nota sulle soluzioni massimali, che hai soluzioni limitate quindi globali su $\RR$ per ogni $y_0 \le 2$. Se $y_0 >2$ mi sa che per confronto esplodi in un tempo finito, vedendo un quadrato alla $y$. Per altro una verifica diretta l'hai se integri l'equazione, che è a variabili separabili, sapendo che $y=\pm2$ sono due soluzioni costanti, quindi le puoi scartare.
Sì, la verifica diretta l'avevo fatta, non avevo pensato di dare un'occhiata subito al campo di direzioni, che effettivamente semplifica la vita.
Chi vuole divertirsi a fare la verifica diretta?
Chi vuole divertirsi a fare la verifica diretta?
"luca.barletta":
La ricerca della soluzione ad un problema 'di Cauchy' dà risultati di carattere locale, ossia nell'intorno di un $x_0$, per cui si parla di soluzioni 'in piccolo' (non è come nel problema della ricerca di una primitiva).
Le soluzioni 'in grande' sono quelle che si ottengono su un dominio prescritto, in questo caso il dominio della funzione $a(x)=4x$, vale a dire $dom(a)=RR$.
Aggiungo due brevi considerazioni.
Se l'equazione è $y'=f(x,y)$, usualmente si parla di soluzioni "in grande" quando l'insieme di definizione di $f$ è una "striscia verticale" del tipo $E \times RR$.
Sinteticamente, in tal caso si dice che si ha una "soluzione in grande" quando la soluzione massimale è definita su tutto $E$
Ci sono un po' di "dettagli" di cui tenere conto (unicità per i problemi di Cauchy associati, il fatto che $E$ sia un intervallo, che sia aperto/chiuso...)
Chiedo scusa se ‘trasformo’ l’equazione differenziale nel modo seguente [commettendo ‘peccato veniale’, dal momento che tutto è lo stesso a meno di una costante ]…
$y’=x*(y^2-4)$ (1)
Se ho ben inteso si chiede per quali valori $y_0=y(0)$ la (1) ammette soluzioni ‘in grande’. Prima di ‘aggredire’ la (1) con la tecnica ‘standard’ di soluzione a variabili separate, conviene uno studio preliminare. Come già altre volte ho suggerito, a questo si presta assai bene il ‘metodo delle isocline’, il quale consiste nel valutare il luogo dei punti sul piano $(x,y)$ per cui è $y’=f(x,y)=k=$ costante. In questo caso il metodo risulta assai semplice da applicare e si ottiene…
$x*(y^2-k)=k$ -> $y^2-4=k/x$ -> $y=+-sqrt (4+k/x)$ (2)
Dunque, dunque… Se poniamo nella (2) $x=0$ scopriamo che il solo valore ‘accettabile’ di $k$ è $k=0$, valore che si ha per $y(0)=+-2$. Dal momento che quando la isoclina è una retta di pendenza pari a $k$ la isoclina stessa è soluzione, ne deriva che $y(0)=+-2$ sono due condizioni iniziali possibili e le relative soluzioni sono $y=+-2$… ‘un po’ banale’ magari ma è così
…
Per vedere se vi sono altre soluzioni ‘aggrediamo’ la (1) con il metodo ‘standard’ di separazione delle variabili. Per $y^2>4$ si ha…
$(dy)/(y^2-4)= x*dx$ -> $-1/2*coth^(-1) y/2= 1/2*x^2+c$ -> $y=-2*coth (x^2-2c)$ (3)
Per $y^2<4$ invece si ha…
$-(dy)/(4-y^2)= x*dx$ -> $-1/2*tanh^(-1) y/2=1/2*x^2+c$ ->$y=-2*tanh (x^2-2c)$ (4)
La derivata della funzione $coth (*)$ non si annulla per alcun valore dell'argomento per cui per $y^2>4$ non c'è niente da fare. La derivata della funzione $tanh (x^2-2c)$ si annulla invece per $x=0$ per cui tutti i valori di $y(0)$ per cui è $-2
cordiali saluti
lupo grigio
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$y’=x*(y^2-4)$ (1)
Se ho ben inteso si chiede per quali valori $y_0=y(0)$ la (1) ammette soluzioni ‘in grande’. Prima di ‘aggredire’ la (1) con la tecnica ‘standard’ di soluzione a variabili separate, conviene uno studio preliminare. Come già altre volte ho suggerito, a questo si presta assai bene il ‘metodo delle isocline’, il quale consiste nel valutare il luogo dei punti sul piano $(x,y)$ per cui è $y’=f(x,y)=k=$ costante. In questo caso il metodo risulta assai semplice da applicare e si ottiene…
$x*(y^2-k)=k$ -> $y^2-4=k/x$ -> $y=+-sqrt (4+k/x)$ (2)
Dunque, dunque… Se poniamo nella (2) $x=0$ scopriamo che il solo valore ‘accettabile’ di $k$ è $k=0$, valore che si ha per $y(0)=+-2$. Dal momento che quando la isoclina è una retta di pendenza pari a $k$ la isoclina stessa è soluzione, ne deriva che $y(0)=+-2$ sono due condizioni iniziali possibili e le relative soluzioni sono $y=+-2$… ‘un po’ banale’ magari ma è così
… Per vedere se vi sono altre soluzioni ‘aggrediamo’ la (1) con il metodo ‘standard’ di separazione delle variabili. Per $y^2>4$ si ha…
$(dy)/(y^2-4)= x*dx$ -> $-1/2*coth^(-1) y/2= 1/2*x^2+c$ -> $y=-2*coth (x^2-2c)$ (3)
Per $y^2<4$ invece si ha…
$-(dy)/(4-y^2)= x*dx$ -> $-1/2*tanh^(-1) y/2=1/2*x^2+c$ ->$y=-2*tanh (x^2-2c)$ (4)
La derivata della funzione $coth (*)$ non si annulla per alcun valore dell'argomento per cui per $y^2>4$ non c'è niente da fare. La derivata della funzione $tanh (x^2-2c)$ si annulla invece per $x=0$ per cui tutti i valori di $y(0)$ per cui è $-2
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lupo grigio
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E quindi quale sarebbe la conclusione? Ti faccio notare che il problema dato da Luca ha un'unica soluzione locale per ogni $y_0 \in \RR$. Quella globale su $\RR$ ce l'hai per ogni $y_0 \le 2$.
La ‘conclusione’ in effetti è un poco diversa da come l’ho descritta questa mattina… 
si vede che ancora avevo in mente la bella vittoria della Ferrari a Magnicourt [ 
] e non mi sono concentrato a dovere… chiedo a tutti umilmente scusa 
… dopo aver meditato con calma la ‘conclusione’ mi pare questa..
Data l’equazione…
$y’=x*(y^2-4)$ (1)
... con la condizione iniziale $y(0)=y_0$ si distinguono tre casi
a) $y_0^2<4$
L’integrale della (1) ha la forma…
$y(x)= -2*tanh(x^2-2c)$ (2)
… e la condizione a) si mantiene per ogni $x$…
b) $y_0^2>4
L’integrale della (1) ha la forma…
$y(x)= -2*coth (x^2-2c)$ (3)
… e la condizione b) si mantiene per ogni $x$…
c) $y_0=4$
L’integrale della (1) ha la forma…
$y(x)=+-2$ (4)
… e la condizione c) si mantiene per ogni $x$…
In tutti e tre i casi la $y'$ si annulla per $x=0$... come in effetti deve essere...
Naturalmente nei casi a) e b) il valore di $c$ si ricava dalla 'condizione iniziale’…
cordiali saluti
lupo grigio
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si vede che ancora avevo in mente la bella vittoria della Ferrari a Magnicourt [ ] e non mi sono concentrato a dovere… chiedo a tutti umilmente scusa … dopo aver meditato con calma la ‘conclusione’ mi pare questa..Data l’equazione…
$y’=x*(y^2-4)$ (1)
... con la condizione iniziale $y(0)=y_0$ si distinguono tre casi
a) $y_0^2<4$
L’integrale della (1) ha la forma…
$y(x)= -2*tanh(x^2-2c)$ (2)
… e la condizione a) si mantiene per ogni $x$…
b) $y_0^2>4
L’integrale della (1) ha la forma…
$y(x)= -2*coth (x^2-2c)$ (3)
… e la condizione b) si mantiene per ogni $x$…
c) $y_0=4$
L’integrale della (1) ha la forma…
$y(x)=+-2$ (4)
… e la condizione c) si mantiene per ogni $x$…
In tutti e tre i casi la $y'$ si annulla per $x=0$... come in effetti deve essere...
Naturalmente nei casi a) e b) il valore di $c$ si ricava dalla 'condizione iniziale’…
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lupo grigio
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Si', anche se la tua sentenza non da' risposta esplicita alla domanda di Luca, che chiedeva per quali valori di $y_0$ la soluzione fosse definita su tutto $\RR$.
In realtà ho paura che sul concetto di 'definizione in grande' vi sia qualche malinteso... almeno da parte mia ...
Tornando comunque alla nostra equazione...
$y'=x*(y^2-4)$ (1)
... le soluzioni sono definite per ogni $x\in\RR$ ad eccezione del caso b) [$y_0^2>4$]. In tal caso infatti la soluzione è del tipo $coth(x^2-2c)$ la quale ha una singolarità in corrispondenza degli zeri del suo argomento... se tali zeri ovviamente esistono, ossia se è $c>0$...
cordiali saluti
lupo grigio
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... Tornando comunque alla nostra equazione...
$y'=x*(y^2-4)$ (1)
... le soluzioni sono definite per ogni $x\in\RR$ ad eccezione del caso b) [$y_0^2>4$]. In tal caso infatti la soluzione è del tipo $coth(x^2-2c)$ la quale ha una singolarità in corrispondenza degli zeri del suo argomento... se tali zeri ovviamente esistono, ossia se è $c>0$...
cordiali saluti
lupo grigio
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Mi pare che uno studio del segno dica che ogni soluzione massimale con $y_0<2$ sia limitata, quindi definita su tutto $\RR$.
Permane [da parte mia ovviamente...] misunderstanding relativamente al concetto di 'definizione in grande'. Dalla spiegazione ricevuta mi pare di aver capito che una funzione $f(x)$ è 'definita in piccolo' allorchè è definita 'quasi ovunque' in un intorno limitato di $x=x_0$ e 'definita in grande' quando è definita 'quasi ovunque' per ogni $x\in\RR$. Per 'quasi ovunque' si deve intendere come 'a meno di un insieme numerabile di punti'. Stando così le cose la presenza di un numero finito di singolarità della funzione non la classifica automaticamente come 'definita in piccolo'... è così?...
Altro concetto che non mi è chiaro è che il fatto che se una $f(x)$ è limitata essa è definita su tutto $RR$. Ad esempio la funzione...
$f(x)= sqrt(x/(1+x))$ (1)
... è sì 'limitata' ma non è definita nell'intervallo $-1
cordiali saluti
lupo grigio
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Altro concetto che non mi è chiaro è che il fatto che se una $f(x)$ è limitata essa è definita su tutto $RR$. Ad esempio la funzione...
$f(x)= sqrt(x/(1+x))$ (1)
... è sì 'limitata' ma non è definita nell'intervallo $-1
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In generale per le equazioni ordinarie si parla di soluzioni di classe $C^1$, per cui il quasi ovunque per tali funzioni perde di significato.
Il th di Cauchy di esistenza ed unicita' locale afferma che in condizioni di continuita' complessiva e di locale lipschitzianita' della funzione $f$, rispetto alla variabile "funzionale", si ha esistenza ed unicita' locale del problema di Cauchy: quindi esiste un intorno di $x_0$ tale per cui in quell'intorno e' definita una soluzione di classe $C^1$ del problema dato. Nel nostro caso il th di Cauchy si applica per ogni $y_0 \in RR$ dal momento che la funzione $f$ e' di classe $C^\infty$ dunque continua e localmente lipschitziana.
Partendo dalla soluzione locale si arriva, per prolungamento, alla soluzione massimale, ovvero ad una soluzione non piu' prolungabile. Di solito si parla di soluzione in grande quando (ma questo dipende anche dai testi) la funzione $f$ e' definita su un insieme del tipo $J x \RR$ e la soluzione massimale e' definita su tutto $J$. Nel nostro caso $f$ e' definita su tutto $\RR^2$ per cui avere una soluzione in grande significa ottenere una soluzione definita su tutto $\RR$.
Il th di Cauchy di esistenza ed unicita' locale afferma che in condizioni di continuita' complessiva e di locale lipschitzianita' della funzione $f$, rispetto alla variabile "funzionale", si ha esistenza ed unicita' locale del problema di Cauchy: quindi esiste un intorno di $x_0$ tale per cui in quell'intorno e' definita una soluzione di classe $C^1$ del problema dato. Nel nostro caso il th di Cauchy si applica per ogni $y_0 \in RR$ dal momento che la funzione $f$ e' di classe $C^\infty$ dunque continua e localmente lipschitziana.
Partendo dalla soluzione locale si arriva, per prolungamento, alla soluzione massimale, ovvero ad una soluzione non piu' prolungabile. Di solito si parla di soluzione in grande quando (ma questo dipende anche dai testi) la funzione $f$ e' definita su un insieme del tipo $J x \RR$ e la soluzione massimale e' definita su tutto $J$. Nel nostro caso $f$ e' definita su tutto $\RR^2$ per cui avere una soluzione in grande significa ottenere una soluzione definita su tutto $\RR$.
Una lunga tititera di cose note e arcinote... che tuttavia non spiega che cosa si deve intendere per 'definizione in grande' di una funzione, vale a dire se si intende per...
a) definita per tutto $RR$
b) definita per tutto $RR$ meno un insieme discreto di punti
c) definita per un numero finito di intervalli [aperti o chiusi]
d) definita in un solo intervallo [aperto o chiuso]
Penso che, in attesa che qualcuno lo spieghi in maniera comprensibile, la cosa migliore da fare sia quella di fornire a Luca Barletta la soluzione della equazione...
$y'=x*(y^2-4)$ (1)
... con la condizione $y(0)=y_0$, $y_0>2$. La soluzione è la seguente...
$y(x)= -2*coth(x^2-c)$ (2)
... ove è...
$c=coth^(-1) (y_0/2)$ (3)
Il diagramma mostra la soluzione nel caso $y_0=2.2$, cui corrisponde $c=1.5222612...$...
La funzione è pari così che può essere rappresentata nel solo semipiano destro. Essa presenta una singolarità in $x_s=sqrt(c)=1.233799...$. Per $|x|2$, per $|x|>x_s$ è $y<-2$. Stabilirà Luca Barletta se [per le sue 'esigenze'] in questo caso la $y(x)$ si deve intendere come o no come 'definita in grande'...
cordiali saluti
lupo grigio
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a) definita per tutto $RR$
b) definita per tutto $RR$ meno un insieme discreto di punti
c) definita per un numero finito di intervalli [aperti o chiusi]
d) definita in un solo intervallo [aperto o chiuso]
Penso che, in attesa che qualcuno lo spieghi in maniera comprensibile, la cosa migliore da fare sia quella di fornire a Luca Barletta la soluzione della equazione...
$y'=x*(y^2-4)$ (1)
... con la condizione $y(0)=y_0$, $y_0>2$. La soluzione è la seguente...
$y(x)= -2*coth(x^2-c)$ (2)
... ove è...
$c=coth^(-1) (y_0/2)$ (3)
Il diagramma mostra la soluzione nel caso $y_0=2.2$, cui corrisponde $c=1.5222612...$...
La funzione è pari così che può essere rappresentata nel solo semipiano destro. Essa presenta una singolarità in $x_s=sqrt(c)=1.233799...$. Per $|x|
cordiali saluti
lupo grigio
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Sara' la solita tiritera ma evidentemente non e' stata capita. Forse un esempio ti puo' aiutare a capire: prendi il problema di Cauchy $y'=y^2$, $y(0)=1$. Esso ha una ed una sola soluzione in piccolo per il Teorema di Cauchy; potendo scartare la soluzione nulla (non verifica la condizione iniziale) per variabili separabili si ottiene facilmente la soluzione massimale $y=1/(1-x)$ che pero' e' definita (per il problema in avanti) solo su $[0,1)$, mentre le funzione $f(x,y)=y^2$ e' definita su tutto $\RR$. In tal caso la soluzione massimale non e' una soluzione in grande. Se invece consideri il problema $y'=y$, $y(0)=1$ allora l'unica soluzione massimale e' la funzione $y=e^x$ che e' definita ed e' soluzione su $(-\infty,+\infty)$, e la funzione $f(x,y)=y$ e' definita su $\RR x \RR$, per cui stavolta si parla di soluzione in grande.
Detto a parole una soluzione non e' globale quando esplode in un tempo finito nonostante la funzione $f$ sia ben definita anche per tempi successivi.
Detto a parole una soluzione non e' globale quando esplode in un tempo finito nonostante la funzione $f$ sia ben definita anche per tempi successivi.
"Lupo Grigio":
Una lunga tititera di cose note e arcinote... che tuttavia non spiega che cosa si deve intendere per 'definizione in grande' di una funzione
"Fioravante Patrone":
Aggiungo due brevi considerazioni.
Se l'equazione è $y'=f(x,y)$, usualmente si parla di soluzioni "in grande" quando l'insieme di definizione di $f$ è una "striscia verticale" del tipo $E \times RR$.
Sinteticamente, in tal caso si dice che si ha una "soluzione in grande" quando la soluzione massimale è definita su tutto $E$
... pertanto nell'esempio da me trattato la funzione...
$y(x)= -2*coth (x^2-1.5222612...)$ (1)
... la quale soddisfa l'equazione differenziale...
$y'=x*(y^2-4)$ (2)
... con la 'condizione iniziale' $y(0)=2.2$ risulta definita in grande nell'intervallo $-1.233799...
E' così?...
cordiali saluti
lupo grigio
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$y(x)= -2*coth (x^2-1.5222612...)$ (1)
... la quale soddisfa l'equazione differenziale...
$y'=x*(y^2-4)$ (2)
... con la 'condizione iniziale' $y(0)=2.2$ risulta definita in grande nell'intervallo $-1.233799...
E' così?...
cordiali saluti
lupo grigio
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No, non e' definita in grande, dal momento che la $f$ l'hai definita dappertutto ma la soluzione esplode in un tempo finito. Una soluzione definita in grande e' una soluzione massimale che "arriva fino al bordo del dominio della $f$".
Noto con soddisfazione l'evidente 'assoluta uniformità' dei punti di vista di 'tizio' e 'caio' sullo stesso specifico problema... 
Stando così le cose non mi è rimasto altro da fare che cercare di 'chiarirmi le idee' [con poco successo a dire il vero...] consultando un poco il web. Ho così appreso che l'attributo 'in grande' o 'in piccolo' si riferisce non già alla definizione di una funzione, bensì al tipo di soluzione di una equazione differenziale $y'=f(x,y)$ con la condizione $y(x_0)=y_0$. In particolare esisterebbero due tipi di soluzione e precisamente...
a) soluzione in piccolo o soluzione locale allorchè si cercano soluzioni in un intorno di $[x_0,y_0]$ non preventivamente specificato
b) soluzione in grande o soluzione globale allorchè si cercano soluzioni in un intorno di $[x_0,y_0]$ preventivamente specificato
Da questi due differenti approcci derivano i due 'teoremi di esistenza e unicità' della soluzione, noti rispettivamente come teorema di esistenza e unicità locale e teorema di esistenza e unicità globale. Entrambi questi teoremi forniscono una condizione sufficiente per l'esistenza e unicità della soluzione nota come condizione di Lipschitz. La differenza sta unicamente nel fatto che mentre per il 'caso ristretto' è richiesto che tale condizione sia verificata solo in $(x_0,y_0)$, nel 'caso allargato' è richiesto che sia verificata i tutti i punti interni ad un intorno specifico di $(x_0,y_0)$...
Nel caso della equazione...
$y'=x*(y^2-4)$ (1)
... la condizione di Lipschitz non è valida per $(x,y)\in\RR^2$ per cui ad essa si può applicare unicamente il teorema di esistenza e unicità locale...
cordiali saluti
lupo grigio
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Stando così le cose non mi è rimasto altro da fare che cercare di 'chiarirmi le idee' [con poco successo a dire il vero...] consultando un poco il web. Ho così appreso che l'attributo 'in grande' o 'in piccolo' si riferisce non già alla definizione di una funzione, bensì al tipo di soluzione di una equazione differenziale $y'=f(x,y)$ con la condizione $y(x_0)=y_0$. In particolare esisterebbero due tipi di soluzione e precisamente...
a) soluzione in piccolo o soluzione locale allorchè si cercano soluzioni in un intorno di $[x_0,y_0]$ non preventivamente specificato
b) soluzione in grande o soluzione globale allorchè si cercano soluzioni in un intorno di $[x_0,y_0]$ preventivamente specificato
Da questi due differenti approcci derivano i due 'teoremi di esistenza e unicità' della soluzione, noti rispettivamente come teorema di esistenza e unicità locale e teorema di esistenza e unicità globale. Entrambi questi teoremi forniscono una condizione sufficiente per l'esistenza e unicità della soluzione nota come condizione di Lipschitz. La differenza sta unicamente nel fatto che mentre per il 'caso ristretto' è richiesto che tale condizione sia verificata solo in $(x_0,y_0)$, nel 'caso allargato' è richiesto che sia verificata i tutti i punti interni ad un intorno specifico di $(x_0,y_0)$...
Nel caso della equazione...
$y'=x*(y^2-4)$ (1)
... la condizione di Lipschitz non è valida per $(x,y)\in\RR^2$ per cui ad essa si può applicare unicamente il teorema di esistenza e unicità locale...
cordiali saluti
lupo grigio
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Si', e' corretto, infatti il Th di esistenza in grande non lo puoi applicare qua, ed invero la soluzione in grande che c'e' se $y_0 \le 2$ la trovi con altre considerazioni.
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