Equazione differenziale

[p4ngm4n]

raga come faccio a risolvere quest'equazione differenziale?

$y^{\prime}=-(2x)/(1+x^2)*y+1/x*1/(1+x^2)$

ho provato a considerare l'omogenea associata ma mi vengono fuori cose troppo complicate; non credo sia questa la strada. Forse è una di quelle equazioni dove si fa una sostituzione??? aiutatemi plz

[MaMo2]

"p4ngm4n":
...
ho provato a considerare l'omogenea associata ma mi vengono fuori cose troppo complicate; non credo sia questa la strada. Forse è una di quelle equazioni dove si fa una sostituzione??? aiutatemi plz

Devi aver sbagliato i conti. Questa è una semplice equazione lineare del primo ordine.

[irenze]

Guarda, l'omogenea associata è facile: infatti puoi notare che $2x$ è la derivata di $1+x^2$.
Quindi ti viene $lny=ln(1/(1+x^2))+C$ e da qui credo che tu sappia continuare da solo.

[p4ngm4n]

allora posto i calcoli dimmi se vanno bene o dove sbaglio.

considero l'omogenea associata:

$y^{\prime}=-(2x)/(1+x^2)y$
quindi se $y!=0$ divido per y e poi integro. viene:

$log|y|=-log(1+x^2)+c

quindi $y=c(1+x^2)$ integrale generale dell'omogenea associata. fin qui ho fatto bene???

[giacor86]

sennò basta applcare la formula delle lineari del prim'ordine.

[p4ngm4n]

scusa ma l'integrale non viene come ho fatto io essendo 2x la derivata di $1+x^2$ viene $-log(1+x^2)

[irenze]

"p4ngm4n":allora posto i calcoli dimmi se vanno bene o dove sbaglio.

considero l'omogenea associata:

$y^{\prime}=-(2x)/(1+x^2)y$
quindi se $y!=0$ divido per y e poi integro. viene:

$log|y|=-log(1+x^2)+c

quindi $y=c(1+x^2)$ integrale generale dell'omogenea associata. fin qui ho fatto bene???

no, c fratto $1+x^2$. avevo letto male!
(devi usare il fatto che -ln(z)=ln(1/z)$)

[p4ngm4n]

come faccio ad usare il metodo della variazione delle costanti?
io l'ho usato sol per eq. del secondo ordine

[irenze]

beh, per il 1° è ancora più facile

poni $y(x)=C(x)/(1+x^2)$ e derivi. trovi una condizione su $C^{\prime}$ e hai fatto.
tra l'altro questo è un modo per ricavare la formula generale che ti dicevano loro...

[p4ngm4n]

sisi scusami il problema era ke non riuscivo perchè consideravo la soluzione sbagliata c(1+x^2) e non potevo trovare una condizione su c
grazie...


per giacor86 la prof non vuole che si usi la formula...grazie cmq

[irenze]

se vuoi, questo è il procedimento (magari prova prima da solo!!!)

$y=C(x)/(1+x^2)$
$y'=(C'(x)*(1+x^2)-C(x)*2x)/(1+x^2)^2=C'(x)/(1+x^2)-2x/(1+x^2)*y$
impongo che sia verificata l'equazione:
$-2x/(1+x^2)*y+1/x*1/(1+x)^2=C'(x)/(1+x^2)-2x/(1+x^2)*y$
e quindi
$C'(x)=1/x$
da cui
$C(x)=ln|x|+C$
e in definitiva
$y(x)=(ln|x|+C)/(1+x^2)$

c'è solo una cosa a cui fare attenzione... tu da
$ln|y|=ln(1/(1+x^2))+C$
hai scritto
$y=1/(1+x^2)$
ma ponendo
$-y=1/(1+x^2)$
trovi un'altra famiglia di soluzioni...

[p4ngm4n]

grazie l'avevo già risolta da solo grazie ad il tuo aiuto (mi serviva per risolvere un problema di cauchy) e il procedimento è identico a quello ke hai postato.