Equazione differenziale

[UnKnown089]

Mi potreste aiutare a svolgere questa equazione differenziale

$1/r * d/dr (r dG/dr) + 1/(r^2) G$ = 0

[UnKnown089]

"UnKnown089":Mi potreste aiutare a svolgere questa equazione differenziale

$1/r * d/dr (r dG/(dr)) + 1/(r^2) G$ = 0

[UnKnown089]

"UnKnown089":[quote="UnKnown089"]Mi potreste aiutare a svolgere questa equazione differenziale

$1/r * d/dr (r dG/(dr)) + 1/(r^2) G$ = 0

[/quote]

[Pulcepelosa]

Sei sicuro sia scritta corretta? ci sono costanti? quale è la funzione?

[UnKnown089]

la funzione è g(r) ,
l'inizio ho sbagliato a scrivere è$1/r * d/(dr)

[Luca.Lussardi]

"COMUNICAZIONE DI SERVIZIO: Si prega di non prendere per oro colato tutto cio' che scrivo! "

E' un po' dura rispondere correttamente ad una domanda quando la domanda stessa e' sbagliata.

[Sk_Anonymous]

Si tratta di un'equazione di Legendre.Essa puo' essere ridotta
ad una ordinaria equazione lineare a coefficienti costanti
mediante la sostituzione $r=e^z$
Si ha infatti:
$(dr)/(dz)=e^z=r$ e dunque $(dz)/(dr)=1/r$
Inoltre:
$(dG)/(dr)=(dG)/(dz)*(dz)/(dr)=1/r(dG)/(dz)$
da cui: $r(dG)/(dr)=(dG)/(dz)$
Derivando ancora rispetto ad r si ha:
$d/(dr)(r(dG)/(dr))=(d^2G)/(dz^2)*(dz)/(dr)=1/r*(d^2G)/(dz^2)$
Sostituendo nell'equazione data risulta:
$1/(r^2)*(d^2G)/(dz^2)+1/(r^2)G=0$ oppure $*(d^2G)/(dz^2)+G=0$
La soluzione di quest'ultima equazione,com'e' noto,e':
$G(z)=C_1cosz+C_2sinz$ e tornando alla variabile r:
$G(r)=C_1cos(lnr)+C_2sin(lnr)$
Se interessa l'equazione di Legendre e' del tipo:
$c_o(ax+b)^n*(d^ny)/(dx^n)+c_1(ax+b)^(n-1)*(d^(n-1)y)/(dx^(n-1))+c_2(ax+b)^(n-2)*(d^(n-2)y)/(dx^(n-2))+...+c_ny=Q(x)$
dove a,b e le c sono costanti.
Tale genere di equazione differenziale puo' essere risolto con la posizione
anzidetta $ax+b=e^z$
E speriamo con questo di non aver urtato la sensibilta'...didattica di nessuno.
karl