Equazione differenziale
Assegnato il seguente problema ai valori iniziali $y^{\prime} = (xy)/(x^2 − 2)$, $y(1) = 1$
1. Trovare la soluzione esplicita del problema.
2. Per quali valori di $x$ è definita la soluzione?
3. Trovare lo sviluppo in serie della soluzione, centrato in $x = 1$, fino al secondo ordine.
Ok, allora, io arrivo a trovare:
1)
$y=(2-x^2)^(1/2) * e^c$
So che la soluzione costante $y=0$ non soddisfa la condizione iniziale.
Imponendo la condizione iniziale ho $c=0$ e la soluzione particolare diventa:
$y=(2-x^2)^(1/2) * e^c$
2)
Qui devo trovare il dominio:
${-sqrt(2)
3) Ecco qui mi fermo.
se sostituisco $y(1) = 1$ ottengo $y^{\prime}(1)=-1$ ma poi devo derivare l'eq differenziale... Qui nascono ancor più problemi...
1. Trovare la soluzione esplicita del problema.
2. Per quali valori di $x$ è definita la soluzione?
3. Trovare lo sviluppo in serie della soluzione, centrato in $x = 1$, fino al secondo ordine.
Ok, allora, io arrivo a trovare:
1)
$y=(2-x^2)^(1/2) * e^c$
So che la soluzione costante $y=0$ non soddisfa la condizione iniziale.
Imponendo la condizione iniziale ho $c=0$ e la soluzione particolare diventa:
$y=(2-x^2)^(1/2) * e^c$
2)
Qui devo trovare il dominio:
${-sqrt(2)
3) Ecco qui mi fermo.
se sostituisco $y(1) = 1$ ottengo $y^{\prime}(1)=-1$ ma poi devo derivare l'eq differenziale... Qui nascono ancor più problemi...
Risposte
La prima parte della derivata potrebbe essere?
$(x)/(x^2-2) $ mi sembra derivando rispetto a $y$. Quindi ciò che moltiplica la $y$ è come se fosse una costante, giusto?
L'altro pezzo.. Ma bisogna sapé le derivate parziali? (cosa che non ho ancora fatto...)
$(x)/(x^2-2) $ mi sembra derivando rispetto a $y$. Quindi ciò che moltiplica la $y$ è come se fosse una costante, giusto?
L'altro pezzo.. Ma bisogna sapé le derivate parziali? (cosa che non ho ancora fatto...)
Se la soluzione da sviluppare in serie di Taylor, fino al secondo ordine , di centro $ x= 1 $ è : $y = sqrt(2-x^2) $ allora :
$f(x) = f(1) +f'(1)*(x-1)+f''(1)*((x-1)^2)/(2!)$ e quindi :
$ f(1) = 1 ; f'(x) = -x/sqrt(2-x^2) $ da cui :$ f'(1) = -1 $
$f''(x) = -2/(2-x^2)^(3/2) $ e quindi $ f''(1) = -2 $
$f(x) = 1-(x-1)-(2/(2!))(x-1)^2+..... = 1-(x-1)-(x-1)^2 $
$f(x) = f(1) +f'(1)*(x-1)+f''(1)*((x-1)^2)/(2!)$ e quindi :
$ f(1) = 1 ; f'(x) = -x/sqrt(2-x^2) $ da cui :$ f'(1) = -1 $
$f''(x) = -2/(2-x^2)^(3/2) $ e quindi $ f''(1) = -2 $
$f(x) = 1-(x-1)-(2/(2!))(x-1)^2+..... = 1-(x-1)-(x-1)^2 $
Perfetto Camillo! Chiarissimo! 
Ma potevo trovare lo sviluppo in serie derivando $y = sqrt(2-x^2) $ ?
Se sì, si può fare sempre o solo in casi particolari?
1000 grazie!
Ma potevo trovare lo sviluppo in serie derivando $y = sqrt(2-x^2) $ ?
Se sì, si può fare sempre o solo in casi particolari?
1000 grazie!
Per trovare i vari coefficienti $ f'(1),f''(1) $ ho derivato la funzione $ y = f(x ) = sqrt(2-x^2 )$ che ho poi valorizzato in $ x= 1 $
Si, questo l'avevo capito. Hai derivato la soluzione. Cosa che non sapevo di poter fare..
Ma in un esempio avevo visto (per poi trovare lo sviluppo) che si derivava l'equazione differenziale e che poi si sostitueva $x_0$. Poi si trovava lo sviluppo in serie.
Solo che non so derivare l'equazione differenziale data...
Ma in un esempio avevo visto (per poi trovare lo sviluppo) che si derivava l'equazione differenziale e che poi si sostitueva $x_0$. Poi si trovava lo sviluppo in serie.
Solo che non so derivare l'equazione differenziale data...
Proviamo a trovare i coefficienti $y'(1), y''(1) $ partendo dalla equazione differenziale data e derivando (2 volte )
Sappiamo che :
$ y'= (x/(x^2-2))*y $ ; $y(1) = 1 $
Quindi $y'(1) = (1/(1-2))*1 = -1 $ OK
Adesso derivo per ottenere $y''(x) $
che sarà :
$y''(x) = (x/(x^2-2))*y'(x) +y*(x^2-2-x(2x))/(x^2-2)^2 =(x*y')/(x^2-2) +y*((-2-x^2)/(x^2-2)^2) $.
Desso devo vedere cosa vale per $x= 1, y(1) = 1 ; y'(1) = -1 $ e ottengo :
$y''(1) = 1-3 = -2 $ OK .
per derivare si considera che è un prodotto e che y è funzione di x e quindi se derivi y rispetto ad x ottieni y'(x) .OK ?
Sappiamo che :
$ y'= (x/(x^2-2))*y $ ; $y(1) = 1 $
Quindi $y'(1) = (1/(1-2))*1 = -1 $ OK
Adesso derivo per ottenere $y''(x) $
che sarà :
$y''(x) = (x/(x^2-2))*y'(x) +y*(x^2-2-x(2x))/(x^2-2)^2 =(x*y')/(x^2-2) +y*((-2-x^2)/(x^2-2)^2) $.
Desso devo vedere cosa vale per $x= 1, y(1) = 1 ; y'(1) = -1 $ e ottengo :
$y''(1) = 1-3 = -2 $ OK .
per derivare si considera che è un prodotto e che y è funzione di x e quindi se derivi y rispetto ad x ottieni y'(x) .OK ?
Non ho parole, sei un geniazzo!
Ti ringrazio perché sei anche chiaro, passaggio dopo passaggio!!!
Grazie!
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