Equazione differenziale
ragazzi non riesco a svolgerla dopo aver trovato le soluzioni dell'equazione omogenea caratteristica
y''' - y'' = 2xe^x
sarebbe:
derivata terza di y meno la derivata seconda di y : uguale due x per e alla x
grazie mille
y''' - y'' = 2xe^x
sarebbe:
derivata terza di y meno la derivata seconda di y : uguale due x per e alla x
grazie mille
Risposte
Io userei il metodo degli annichilatori: detto $[D^{n}]y$ l'operatore di derivazione $n-"esima"$, applicando a destra e a manca l'operatore $[D-1]^{2}y=[D^{2} - 2D + 1]y$* si ha che la parte di destra si annulla, a sinistra invece si ottiene, chiamando $\lambda=[D]y$:
$(\lambda^{2} - 2\lambda + 1)\lambda^{2}(\lambda-1)=0$
Le soluzioni sono $\lambda=0 " doppia"$ e $\lambda=1 " tripla"$, che corrispondono a $1, x, e^x, xe^{x}, x^{2}e^{x}$, le soluzioni $1, x, e^{x}$ sono già state considerate nel calcolo dell'omogenea, ora si considerano solo, per calcolare una soluzione della particolare, $xe^x$ e $x^2 e^x$, quindi la soluzione particolare è della forma $a x e^x + b x^2 e^x$, con $a, b \in \mathbb{R}$ da determinare.
Mettendo questa soluzione nell'equazione iniziale si trovano i parametri $a$ e $b$. Dopo aggiungi a questa soluzione particolare tutte le soluzioni dell'omogenea, e il gioco è fatto.
*Con questo operatore intendo derivata seconda di y meno due volte la derivata prima più y.
$(\lambda^{2} - 2\lambda + 1)\lambda^{2}(\lambda-1)=0$
Le soluzioni sono $\lambda=0 " doppia"$ e $\lambda=1 " tripla"$, che corrispondono a $1, x, e^x, xe^{x}, x^{2}e^{x}$, le soluzioni $1, x, e^{x}$ sono già state considerate nel calcolo dell'omogenea, ora si considerano solo, per calcolare una soluzione della particolare, $xe^x$ e $x^2 e^x$, quindi la soluzione particolare è della forma $a x e^x + b x^2 e^x$, con $a, b \in \mathbb{R}$ da determinare.
Mettendo questa soluzione nell'equazione iniziale si trovano i parametri $a$ e $b$. Dopo aggiungi a questa soluzione particolare tutte le soluzioni dell'omogenea, e il gioco è fatto.
*Con questo operatore intendo derivata seconda di y meno due volte la derivata prima più y.
Ti propongo un metodo risolutivo meno formale ma latrettanto efficace e piu veloce. Metodo per Tentativi: consiste nell'aspettarsi un integrale particolare analogo alla parte non omogenea ovvero a $x*e^x$ in tala caso però mancando y e y' dovrai aumentare il grado di 2 aspettandoti quindi una soluzione della forma $Ax^3+Bx^2+Cx+D)*e^x$ derivando tre volte e sostituendo nell'equazioni differenziale si trova che A=0, B=1 e C=-4 Trattandosi di una soluzione particolare sei libero di assegnare a D un valore qualunque (il modo più semplice è secgliere zero) Pertanto la soluzione particolare sarà
$y=(x^2-4)*e^x$
$y=(x^2-4)*e^x$
"Tipper":
Io userei il metodo degli annichilatori: detto $[D^{n}]y$ l'operatore di derivazione $n-"esima"$, applicando a destra e a manca l'operatore $[D-1]^{2}y=[D^{2} - 2D + 1]y$* si ha che la parte di destra si annulla, a sinistra invece si ottiene, chiamando $\lambda=[D]y$:
$(\lambda^{2} - 2\lambda + 1)\lambda^{2}(\lambda-1)=0$
Le soluzioni sono $\lambda=0 " doppia"$ e $\lambda=1 " tripla"$, che corrispondono a $1, x, e^x, xe^{x}, x^{2}e^{x}$, le soluzioni $1, x, e^{x}$ sono già state considerate nel calcolo dell'omogenea, ora si considerano solo, per calcolare una soluzione della particolare, $xe^x$ e $x^2 e^x$, quindi la soluzione particolare è della forma $a x e^x + b x^2 e^x$, con $a, b \in \mathbb{R}$ da determinare.
Mettendo questa soluzione nell'equazione iniziale si trovano i parametri $a$ e $b$. Dopo aggiungi a questa soluzione particolare tutte le soluzioni dell'omogenea, e il gioco è fatto.
*Con questo operatore intendo derivata seconda di y meno due volte la derivata prima più y.
ma il polinimio caratteristico è $lambda^2(lambda-1)=0$ per cui $lambda=0$ è radice doppia e $lambda=1$ è radice semplice
"nicola de rosa":
[quote="Tipper"]Io userei il metodo degli annichilatori: detto $[D^{n}]y$ l'operatore di derivazione $n-"esima"$, applicando a destra e a manca l'operatore $[D-1]^{2}y=[D^{2} - 2D + 1]y$* si ha che la parte di destra si annulla, a sinistra invece si ottiene, chiamando $\lambda=[D]y$:
$(\lambda^{2} - 2\lambda + 1)\lambda^{2}(\lambda-1)=0$
Le soluzioni sono $\lambda=0 " doppia"$ e $\lambda=1 " tripla"$, che corrispondono a $1, x, e^x, xe^{x}, x^{2}e^{x}$, le soluzioni $1, x, e^{x}$ sono già state considerate nel calcolo dell'omogenea, ora si considerano solo, per calcolare una soluzione della particolare, $xe^x$ e $x^2 e^x$, quindi la soluzione particolare è della forma $a x e^x + b x^2 e^x$, con $a, b \in \mathbb{R}$ da determinare.
Mettendo questa soluzione nell'equazione iniziale si trovano i parametri $a$ e $b$. Dopo aggiungi a questa soluzione particolare tutte le soluzioni dell'omogenea, e il gioco è fatto.
*Con questo operatore intendo derivata seconda di y meno due volte la derivata prima più y.
ma il polinimio caratteristico è $lambda^2(lambda-1)=0$ per cui $lambda=0$ è radice doppia e $lambda=1$ è radice semplice[/quote]
Quello che dici te è per la soluzione dell'omogenea, quello che ho detto io è per la soluzione della completa, cioè per trovare una soluzione particolare.
"Tipper":
[quote="nicola de rosa"][quote="Tipper"]Io userei il metodo degli annichilatori: detto $[D^{n}]y$ l'operatore di derivazione $n-"esima"$, applicando a destra e a manca l'operatore $[D-1]^{2}y=[D^{2} - 2D + 1]y$* si ha che la parte di destra si annulla, a sinistra invece si ottiene, chiamando $\lambda=[D]y$:
$(\lambda^{2} - 2\lambda + 1)\lambda^{2}(\lambda-1)=0$
Le soluzioni sono $\lambda=0 " doppia"$ e $\lambda=1 " tripla"$, che corrispondono a $1, x, e^x, xe^{x}, x^{2}e^{x}$, le soluzioni $1, x, e^{x}$ sono già state considerate nel calcolo dell'omogenea, ora si considerano solo, per calcolare una soluzione della particolare, $xe^x$ e $x^2 e^x$, quindi la soluzione particolare è della forma $a x e^x + b x^2 e^x$, con $a, b \in \mathbb{R}$ da determinare.
Mettendo questa soluzione nell'equazione iniziale si trovano i parametri $a$ e $b$. Dopo aggiungi a questa soluzione particolare tutte le soluzioni dell'omogenea, e il gioco è fatto.
*Con questo operatore intendo derivata seconda di y meno due volte la derivata prima più y.
ma il polinimio caratteristico è $lambda^2(lambda-1)=0$ per cui $lambda=0$ è radice doppia e $lambda=1$ è radice semplice[/quote]
Quello che dici te è per la soluzione dell'omogenea, quello che ho detto io è per la soluzione della completa, cioè per trovare una soluzione particolare.[/quote]
è un nuovo modo di procedere che non ho mai visto ma che mi fa piacere conoscere.poi per l'integrale particolare esso è del tipo
$(Ax^3+Bx^2+Cx+D)e^x$ con $A,B,C,D$ da determinare
Il metodo degli annichilatori è uno dei pochi metodi di risoluzioni delle ode non omogenee che ho visto ad analisi II: consiste nel ricondurre una non omogenea in una omogenea, trovare le soluzioni, e scartare quelle soluzioni che erano già state determinate precedentemente.
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