Equazione differenziale 3
non so come andare avanti:
$y''+2y'+y=e^(2x)+1$
1)omogenea
$y(x)=(A+Bx)e^-x$
2)sol particolare
$b(x)=e^(2x)+1$
$bary=He^(2x)+Mx$
$bary'=2He^(2x)+M$
$bary''=4He^(2x)$
allora :
$4He^(2x)+4He^(2x)+2M+He^(2x)+Mx=e^(2x)+1$
$e^(2x)(9H-1)=1-Mx-2M$
$H=1/9$
e come faccio a trovare M???
fioravante,help!
$y''+2y'+y=e^(2x)+1$
1)omogenea
$y(x)=(A+Bx)e^-x$
2)sol particolare
$b(x)=e^(2x)+1$
$bary=He^(2x)+Mx$
$bary'=2He^(2x)+M$
$bary''=4He^(2x)$
allora :
$4He^(2x)+4He^(2x)+2M+He^(2x)+Mx=e^(2x)+1$
$e^(2x)(9H-1)=1-Mx-2M$
$H=1/9$
e come faccio a trovare M???
fioravante,help!
Risposte
$\bar y=He^{2x}+Mx $
No, $\bar y=He^{2x}+M $ (da cui $H=1/7$ e $M=1$)
ok,ma a questa soluzione ci sei arrivato "a occhio" o per tentativi!
in genere il polinomio di grado uno non dovrebbe essere
$Mx+N$
poi tanto la N nn serve perchè quando derivo va via.
o no?
e poi così facendo sono d'accordo con la M ma secondo me H=1/9
in genere il polinomio di grado uno non dovrebbe essere
$Mx+N$
poi tanto la N nn serve perchè quando derivo va via.
o no?
e poi così facendo sono d'accordo con la M ma secondo me H=1/9
Cerco di "riassumere" la regola (dovresti pero' cercartela scritta per bene)
DI SOLITO se nel termine noto hai un polinomio $P(x)$ di grado $n$ allora cerchi
la soluzione particolare dello stesso tipo, cioe' $Q(x)$ di grado $n$. Se per esempio il dato e' una costante
cerchi una soluzione particolare costante, se e' $3x$ cerchi la soluzione $a+bx$ (e in questo caso hai ragione che
$a$ non serve) e cosi' via. Analogamente se il termine noto e' $P(x)e^{cx}$ cerchi la soluzione particolare
del tipo $Q(x)e^{cx}$, con $Q$ polinomio dello stesso grado di $P$. Nota che quest'ultimo caso generalizza quello
del polinomio "secco" (che corrisponde a $c=0$)
Se il dato e' somma di pezzi di questo tipo cerchi $\bar y$ come somma di pezzi analoghi.
Ho detto DI SOLITO - in effetti tutto funziona se il dato non e' una delle soluzioni dell'omogenea.
In uno dei primi esercizi che hai tirato in ballo c'era un dato iniziale con una costante, ma le
costanti erano soluzioni dell'omogenea. In questi casi, se il dato e' $P(x)e^{cx}$, $P$ polinomio di grado $n$, e pero' $c$ è soluzione
del polinonio caratteristico, allora devi cercare la soluzione particolare come $Q(x)e^{cx}$ dove $Q$
è di grado $n+k$ e $k$ è la molteplicità di $c$ come radice del polinomio caratteristico. Se non ricordo male
nell'altro esercizio l'equazione era più o meno $y''+y'= e^x+1$. Le radici del polinomio caratteristico sono
$0$ e $-1$ e quindi le soluzioni dell'omoigenea sono $A+Be^{-x}$. Osserva che le costanti sono soluzioni dell'omogenea
e che $0$ ha molteplicità $1$. Allora devi cercare la soluzione particolare come $He^x+Kx$ (a rigore $He^x+Q(x)$
con $Q$ di grado $1$, ma si vede facilmente che il termine noto di $Q$ non serve).
Nell'esercizio di oggi invece le costanti non sono soluzioni e quindi devi mettere $H e^{2x}+M$.
Per quanto riguarda il conto hai ragione, viene $1/9$
DI SOLITO se nel termine noto hai un polinomio $P(x)$ di grado $n$ allora cerchi
la soluzione particolare dello stesso tipo, cioe' $Q(x)$ di grado $n$. Se per esempio il dato e' una costante
cerchi una soluzione particolare costante, se e' $3x$ cerchi la soluzione $a+bx$ (e in questo caso hai ragione che
$a$ non serve) e cosi' via. Analogamente se il termine noto e' $P(x)e^{cx}$ cerchi la soluzione particolare
del tipo $Q(x)e^{cx}$, con $Q$ polinomio dello stesso grado di $P$. Nota che quest'ultimo caso generalizza quello
del polinomio "secco" (che corrisponde a $c=0$)
Se il dato e' somma di pezzi di questo tipo cerchi $\bar y$ come somma di pezzi analoghi.
Ho detto DI SOLITO - in effetti tutto funziona se il dato non e' una delle soluzioni dell'omogenea.
In uno dei primi esercizi che hai tirato in ballo c'era un dato iniziale con una costante, ma le
costanti erano soluzioni dell'omogenea. In questi casi, se il dato e' $P(x)e^{cx}$, $P$ polinomio di grado $n$, e pero' $c$ è soluzione
del polinonio caratteristico, allora devi cercare la soluzione particolare come $Q(x)e^{cx}$ dove $Q$
è di grado $n+k$ e $k$ è la molteplicità di $c$ come radice del polinomio caratteristico. Se non ricordo male
nell'altro esercizio l'equazione era più o meno $y''+y'= e^x+1$. Le radici del polinomio caratteristico sono
$0$ e $-1$ e quindi le soluzioni dell'omoigenea sono $A+Be^{-x}$. Osserva che le costanti sono soluzioni dell'omogenea
e che $0$ ha molteplicità $1$. Allora devi cercare la soluzione particolare come $He^x+Kx$ (a rigore $He^x+Q(x)$
con $Q$ di grado $1$, ma si vede facilmente che il termine noto di $Q$ non serve).
Nell'esercizio di oggi invece le costanti non sono soluzioni e quindi devi mettere $H e^{2x}+M$.
Per quanto riguarda il conto hai ragione, viene $1/9$
ok ,grazie!
per la soluzione dell'omogenea:
ho fatto bene a calcolare il discriminante(in quesat equazione ho anche la y) e dato che è uguale a zero ho messo come soluzione quella che vedi che è diversa da quelle degli altri esercizi visto che qui ho una sola soluzione del polinomio.
per la soluzione dell'omogenea:
ho fatto bene a calcolare il discriminante(in quesat equazione ho anche la y) e dato che è uguale a zero ho messo come soluzione quella che vedi che è diversa da quelle degli altri esercizi visto che qui ho una sola soluzione del polinomio.
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