Equazione differenziale
Cortesemente qualcuno mi aiuta a finirla facendo tutti i passaggi ?
Grazie
$ y^(II)-6y^(I)+9=e^(3x) $
La soluzione dell'omogenea associata mi viene $ y(x)=a*e^(3x)+b*xe^(3x) $
Quando vado a cercare la soluzione particolare devo prestare attenzione a $f(x)=e^(3x)$
Essendo $f(x)$ del tipo $P_m(x)*e^(λx) $ e essendo $λ=3$ anche soluzione dell'omogenea associata come mi devo comportare ?
Grazie
Grazie
$ y^(II)-6y^(I)+9=e^(3x) $
La soluzione dell'omogenea associata mi viene $ y(x)=a*e^(3x)+b*xe^(3x) $
Quando vado a cercare la soluzione particolare devo prestare attenzione a $f(x)=e^(3x)$
Essendo $f(x)$ del tipo $P_m(x)*e^(λx) $ e essendo $λ=3$ anche soluzione dell'omogenea associata come mi devo comportare ?
Grazie
Risposte
f(x) è del tipo : $Ae^(lambda x ) $ con $ lambda = 3 $ radice doppia di $P(lambda) $ = polinomio caratteristico.
Devi allora cercare una soluzione particolare del tipo : $ k x^2e^(3x) $ .
S.E.O dovrebbe venire : $k=1/2$.
Puoi trovare un buon riassunto aprendo il documento :
SOMIGLIANZA.pdf qui :
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... namento=55
Suppongo che manchi y nell'equazione , che sia cioè :
$ y'' -6y'+9y = e^(3x)$.
Devi allora cercare una soluzione particolare del tipo : $ k x^2e^(3x) $ .
S.E.O dovrebbe venire : $k=1/2$.
Puoi trovare un buon riassunto aprendo il documento :
SOMIGLIANZA.pdf qui :
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... namento=55
Suppongo che manchi y nell'equazione , che sia cioè :
$ y'' -6y'+9y = e^(3x)$.
Perchè è una radice doppia ? Non dovrei considerare come a se stante la soluzione particolare.
Io procedo generalmente in questo modo, ma vorrei capire dove sbaglio.
La soluzione dell'omogenea era $ y(x)=A*e^(3x)+B*xe^(3x) $
Il termine noto è del tipo $ y_p(x)=P_m(x)*e^(αx)*x $
$ y_p^(I)(x)=A*e^(3x)+3A*x*e^(3x) $
$ y_p^(II)(x)=3A*e^(3x)+3A*e^(3x)+9A*x*e^(3x) $
Ma ora sostituendo come mi comporto ?
Io procedo generalmente in questo modo, ma vorrei capire dove sbaglio.
La soluzione dell'omogenea era $ y(x)=A*e^(3x)+B*xe^(3x) $
Il termine noto è del tipo $ y_p(x)=P_m(x)*e^(αx)*x $
$ y_p^(I)(x)=A*e^(3x)+3A*x*e^(3x) $
$ y_p^(II)(x)=3A*e^(3x)+3A*e^(3x)+9A*x*e^(3x) $
Ma ora sostituendo come mi comporto ?
E' possibile che i mie post passano sempre inosservati, oppure le risposte che mi date sono sempre superficiali ?
Non chiedo lo svolgimento, se non ciò provato almeno 10 volte a svolgere un esercizio io personalmente,
grazie
Non chiedo lo svolgimento, se non ciò provato almeno 10 volte a svolgere un esercizio io personalmente,
grazie
Io ti avevo risposto accuratamente ma non so dove sia finito il mio post, forse alla fine non l'avrò inviato... Cmq non capisco bene il tuo metodo, ma proverò a svolgere i passaggi per arrivare alla soluzione. Ok?
un omaggio a camillo,
che ti ha risposto accuratamente, persino correggendo un presunto errore nel tuo post.
Non vedo di cosa tu ti possa lamentare, anzi
che ti ha risposto accuratamente, persino correggendo un presunto errore nel tuo post.
Non vedo di cosa tu ti possa lamentare, anzi
Per trovare la soluzione dell'omogenea, devi trovare prima le radici del polinomio complesso associato, quindi:
$z^2-6z+9=0=>(z-3)^2=0=>z_{1,2}=3$ ossia due soluzioni reali coincidenti, in quasti casi quindi la soluzione generale è:
$y(x)=(a+bx)e^(3x)+\phi(x)$, dove $\phi(x)$ è la soluzione particolare dovuta al termine noto.
Usando il metodo sella somiglianza, si prova una funzione del tipo: $kx^2e^(3x)$, perchè $z=3$ era soluzione doppia del polinomio associato.
In effetti: se 3 non fosse stata soluzione si sarebbe provato: $ke^(3x)$, se fosse stata soluzione con molteplicità 1: $kxe^(3x)$....
Quindi:
$ke^(3x)(9x^2+12x+2)-6e^(3x)(3kx^2+2kx)+9kx^2e^(3x)=e^(3x)=>9kx^2e^(3x)+12kxe^(3x)+2ke^(3x)-18kx^2e^(3x)-12kxe^(3x)+9kx^2e^(3x)=e^(3x)=>k=1/2$
Quindi la famiglia di soluzioni è:
$y(x)=(a+bx+1/2)e^(3x)$
$z^2-6z+9=0=>(z-3)^2=0=>z_{1,2}=3$ ossia due soluzioni reali coincidenti, in quasti casi quindi la soluzione generale è:
$y(x)=(a+bx)e^(3x)+\phi(x)$, dove $\phi(x)$ è la soluzione particolare dovuta al termine noto.
Usando il metodo sella somiglianza, si prova una funzione del tipo: $kx^2e^(3x)$, perchè $z=3$ era soluzione doppia del polinomio associato.
In effetti: se 3 non fosse stata soluzione si sarebbe provato: $ke^(3x)$, se fosse stata soluzione con molteplicità 1: $kxe^(3x)$....
Quindi:
$ke^(3x)(9x^2+12x+2)-6e^(3x)(3kx^2+2kx)+9kx^2e^(3x)=e^(3x)=>9kx^2e^(3x)+12kxe^(3x)+2ke^(3x)-18kx^2e^(3x)-12kxe^(3x)+9kx^2e^(3x)=e^(3x)=>k=1/2$
Quindi la famiglia di soluzioni è:
$y(x)=(a+bx+1/2)e^(3x)$
Desidero ringraziare e scusarmi con camillo, cavallipurosangue, Fioravante Patrone e tutti gli utenti del forum per quanto scritto prima.
Sono molto stressato ultimamente, ma questo non mi giustifica.
A presto
Sono molto stressato ultimamente, ma questo non mi giustifica.
A presto
Salve ragazzi mi potreste dire gentilmente dove poter trovare, su internet, della teoria su equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine n>=2????
P.S è piuttosto urgente!!!!!!!!!
GRAZIE!!!!!!!!
P.S è piuttosto urgente!!!!!!!!!
GRAZIE!!!!!!!!
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