Equazione differenziale
$y''+y=xsenx$
Risposte
dov'è la difficoltà? dai che non è per niente difficile... dove ti sei bloccato?
risolvi l'omogenea associata, poi per trovare la soluzione particolare non sei costretto a usare il metodo di Lagrange ma quello ridotto
risolvi l'omogenea associata, poi per trovare la soluzione particolare non sei costretto a usare il metodo di Lagrange ma quello ridotto
Scusate se intervengo (chiedo scusa ad Enea, principalmente! 
) in questa cosa che non so risolvere, ma oggi pomeriggio ho cercato anch'io di imparare qualcosa sulle equazioni differenziali un pò... e questo sito serve per imparare, no???
L'unico metodo a me conosciuto per queste equazioni (non conosco il nome) mi porta a dire che una soluzione particolare è:
$y(x)=int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds$
E' giusto? (lo chiedo perchè non sono sicuro di avere applicato bene il tutto e perciò non mi lancio a calcolare l'integrale) qualcuno ha un software di calcolo o altro per confermare???
) in questa cosa che non so risolvere, ma oggi pomeriggio ho cercato anch'io di imparare qualcosa sulle equazioni differenziali un pò... e questo sito serve per imparare, no???L'unico metodo a me conosciuto per queste equazioni (non conosco il nome) mi porta a dire che una soluzione particolare è:
$y(x)=int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds$
E' giusto? (lo chiedo perchè non sono sicuro di avere applicato bene il tutto e perciò non mi lancio a calcolare l'integrale) qualcuno ha un software di calcolo o altro per confermare???
"Thomas":
Scusate se intervengo (chiedo scusa ad Enea, principalmente!
L'unico metodo a me conosciuto per queste equazioni (non conosco il nome) mi porta a dire che una soluzione particolare è:
$y(x)=int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds$
E' giusto? (lo chiedo perchè non sono sicuro di avere applicato bene il tutto e perciò non mi lancio a calcolare l'integrale) qualcuno ha un software di calcolo o altro per confermare???
Si dovrebbe essere giusto. Questa soluzione particolare si ottiene usando la trasformata di Laplace per risolvere l'equazione... Ho fatto i conti a mente per cui non garantisco sulla correttezza, ma a me viene lo stesso risultato.
a me invece sembra sbagliato... perché quell'integrale, che non è altro che la convoluzione tra $u(x)senx*u(x)senx$ dovrebbe risultare $y=(senx-xcosx)/2$, la cui derivata seconda è $y''=(senx+xcosx)/2$... ora se sommiamo le due funzioni otteniamo $senx$ e non $xsenx$ come invece dovrebbe essere
non so cosa sia la "convoluzione" 
... ora non ho tempo di fare i calcoli e devo andare... dopo controllo...
solo una cosa Kroldar... non è che ti sei dimenticato la $s$ dentro all'integrale? (ce ne sono tre di fila intervallate da una parentesi
)
Te lo chiedo perchè ieri sera ho provato a farlo quell'integrale e non mi veniva così semplice... poi ho lasciato perdere perchè era tardi ed i calcoli venivano a farsi troppi... se ti fossi dimenticato la $s$ tutto quello che ti torna sarebbe giusto...
... ora non ho tempo di fare i calcoli e devo andare... dopo controllo... solo una cosa Kroldar... non è che ti sei dimenticato la $s$ dentro all'integrale? (ce ne sono tre di fila intervallate da una parentesi
)Te lo chiedo perchè ieri sera ho provato a farlo quell'integrale e non mi veniva così semplice... poi ho lasciato perdere perchè era tardi ed i calcoli venivano a farsi troppi... se ti fossi dimenticato la $s$ tutto quello che ti torna sarebbe giusto...
L'equazione caratteristica, $lambda^2+1=0$, ha come radici $lambda_1=i$, $lambda_2=-i$,e quindi l'integrale generale dell'omogenea associata è $z=c_1cosx+c_2senx$.
Il secondo membro dell'eq.differenziale data è della forma:
$f(x)=e^(alphax)[P(x)cosbetax+Q(x)senbetax]$, ove : $alpha=0$, $beta=1$, $P(x)=0$, $Q(x)=x$.
Pertanto un integrale particolare è: $phi(x)=x[(ax+b)cosx+(cx+d)senx]$.
Sostituendo $phi$ e $phi''$ nella prima ed eguagliando i coefficienti di $cosx$, $xcosx$, $senx$ e $xsenx$ nei due membri dell'uguaglianzasi trova $a=-1/4$, $b=c=0$, $d=1/4$
......sostituendo il tutto il gioco è fatto.
Il secondo membro dell'eq.differenziale data è della forma:
$f(x)=e^(alphax)[P(x)cosbetax+Q(x)senbetax]$, ove : $alpha=0$, $beta=1$, $P(x)=0$, $Q(x)=x$.
Pertanto un integrale particolare è: $phi(x)=x[(ax+b)cosx+(cx+d)senx]$.
Sostituendo $phi$ e $phi''$ nella prima ed eguagliando i coefficienti di $cosx$, $xcosx$, $senx$ e $xsenx$ nei due membri dell'uguaglianzasi trova $a=-1/4$, $b=c=0$, $d=1/4$
......sostituendo il tutto il gioco è fatto.
Ho fatto quell'integrale col Matlab. Risulta:
$\int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds=1/4(xsin(x)-x^2cos(x))$
facendo i conti dovrebbe tornare tutto. Comunque senza stare a fare l'integrale si capisce che é giusto perché la soluzione particolare é data dalla formula:
$y(x)=\mathcal{L}^{-1}[1/(s^2+1)](x) ** xsin(x)=\int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds$
$\int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds=1/4(xsin(x)-x^2cos(x))$
facendo i conti dovrebbe tornare tutto. Comunque senza stare a fare l'integrale si capisce che é giusto perché la soluzione particolare é data dalla formula:
$y(x)=\mathcal{L}^{-1}[1/(s^2+1)](x) ** xsin(x)=\int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds$
"david_e":
Ho fatto quell'integrale col Matlab. Risulta:
$\int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds=1/4(xsin(x)-x^2cos(x))$
facendo i conti dovrebbe tornare tutto. Comunque senza stare a fare l'integrale si capisce che é giusto perché la soluzione particolare é data dalla formula:
$y(x)=\mathcal{L}^{-1}[1/(s^2+1)](x) ** xsin(x)=\int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds$
ma come le risolvete le equazioni differenziali?
@ENEA84:
visto che sto cercando di imparare adesso le equazioni, mi diresti come si chiama il metodo che hai utilizzato per trovare la particolare??...
@david_e:
spero che tu abbia ragione!
visto che sto cercando di imparare adesso le equazioni, mi diresti come si chiama il metodo che hai utilizzato per trovare la particolare??...
@david_e:
spero che tu abbia ragione!
@ ENEA84: Io conosco solo un metodo abbastanza generale che passa per una funzione dell'omogenea con certe proprietà... non so come si chiami... se vuoi te lo scrivo ma da descrivere è lunghetto... tu che metodo usi per le sol particolari?
con i metodi canonici, basta consultare un qualsiasi manuale....i vostri metodi sono abbastanza inediti....ma forse altrettanto giusti...dovreste verificare se giungete allo stesso mio risultato..
"ENEA84":
con i metodi canonici, basta consultare un qualsiasi manuale....i vostri metodi sono abbastanza inediti....ma forse altrettanto giusti...dovreste verificare se giungete allo stesso mio risultato..
Il metodo che ho usato é quello della trasformata di Laplace. É un metodo "standard" per le equazioni differenziali lineari...
Da notare che usando il metodo di "somiglianza" o quello delle costanti arbitrarie o il metodo della trasformata si possono ottenere soluzioni particolari diverse! Questo non viola l'unicitá della soluzione del problema di Cauchy. Semplicemente risolvendo l'equazione generale é possibile identificare lo stesso spazio affine usando termini affini diversi...
"david_e":
[quote="ENEA84"]con i metodi canonici, basta consultare un qualsiasi manuale....i vostri metodi sono abbastanza inediti....ma forse altrettanto giusti...dovreste verificare se giungete allo stesso mio risultato..
Il metodo che ho usato é quello della trasformata di Laplace. É un metodo "standard" per le equazioni differenziali lineari...
Da notare che usando il metodo di "somiglianza" o quello delle costanti arbitrarie o il metodo della trasformata si possono ottenere soluzioni particolari diverse! Questo non viola l'unicitá della soluzione del problema di Cauchy. Semplicemente risolvendo l'equazione generale é possibile identificare lo stesso spazio affine usando termini affini diversi...[/quote]
già che ci sono... pare che il metodo che conosco io arrivi a fare dei calcoli uguali a questa "trasformata" (o magari è il medesimo metodo, chissà!)...
qual è tra questi metodi quello più veloce??? sempre che questa risposta non dipenda dal problema...
trasformata? ti garantisco che ci sono dei metodi più elementari...controlla bene!
"Thomas":
non so cosa sia la "convoluzione"
solo una cosa Kroldar... non è che ti sei dimenticato la $s$ dentro all'integrale? (ce ne sono tre di fila intervallate da una parentesi
Te lo chiedo perchè ieri sera ho provato a farlo quell'integrale e non mi veniva così semplice... poi ho lasciato perdere perchè era tardi ed i calcoli venivano a farsi troppi... se ti fossi dimenticato la $s$ tutto quello che ti torna sarebbe giusto...
ahuhauhahahuhahuahuahuhauhuauhh vero... non ho visto la $s$. scusate per le cretinate che ho detto allora
Il metodo della trasformata é il piú semplice che c'é anche se non é certamente il piú elementare da comprendere... i fondamenti teorici di questo metodo sono un po' pesantucci, ma alla fine risulta essere il metodo piú semplice per risolvere le equazioni lineari:
http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_Transform
http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_Transform
vero david_e, aggiungerei che il metodo della trasformata di laplace mostra tutta la propria efficacia quando si devono risolvere i problemi di Cauchy in $[0,+oo)$ poiché evita di dover effettuare le sostituzioni dei valori di $y$ e delle sue derivate e poi mettere il tutto a sistema. magari con certe equazioni differenziali è meno consigliabile utilizzare la trasformata di laplace, ad esempio nel nostro caso, poiché complica i calcoli. rimane cmq un ottimo metodo di risoluzione perché permette di lavorare con funzioni razionali piuttosto che funzioni di natura più complessa (esponenziali, goniometriche,...)
Si hai ragione... io ho usato la trasformata perché per un passato esame mi é capitato spesso di dover risolvere alcune equazioni del tipo:
$ y'+y=f(x) $
o
$y''+y=g(x)$
con $f$ e $g$ a volte anche complicate e con condizioni iniziali omogenee che ovviamente si risolvono tranquillamente con le trasformate... quindi la soluzione particolare che si troverebbe con le trasformate, irrealtá, me la ricordo "a memoria"; non perché l'abbia studiata, semplicemente a furia di risolvere equazioni fatte cosí...
$ y'+y=f(x) $
o
$y''+y=g(x)$
con $f$ e $g$ a volte anche complicate e con condizioni iniziali omogenee che ovviamente si risolvono tranquillamente con le trasformate... quindi la soluzione particolare che si troverebbe con le trasformate, irrealtá, me la ricordo "a memoria"; non perché l'abbia studiata, semplicemente a furia di risolvere equazioni fatte cosí...
Io conosco due metodi cosiddetti "elementari" per le equazioni lineari:
- metodo di variazione delle costanti (molto più generale, ma spesso escono fuori orribili integrali...)
- metodo degli annichilatori, che si può utilizzare solo per equazioni a coefficienti costanti con termine noto esponenziale, reale o complesso (quello che applicherei in questo caso...)
- metodo di variazione delle costanti (molto più generale, ma spesso escono fuori orribili integrali...)
- metodo degli annichilatori, che si può utilizzare solo per equazioni a coefficienti costanti con termine noto esponenziale, reale o complesso (quello che applicherei in questo caso...)
Scriviamo la cosa in termini di operatori:
$(D^2+I) y=\sin x$
La soluzione dell'omogenea associata è $c_1 \cos x + c_2 \sin x$. Dal momento che $\sin x \in \ker (D^2+I)$, dobbiamo considerare il complementare di una base di $\ker (D^2+I)$ in $\ker {(D^2+I)}^2=\{ \cos x, \sin x, x \cos x, x \sin x \}$.
Dunque una soluzione particolare dell'equazione sarà della forma $\overline{y}(x) = \overline{c_1} x \cos x + \overline{c_2} x \sin x$, con $\overline{c_1}$ e $\overline{c_2}$ da determinare.
Facciamo le derivate di una tale funzione:
$\overline{y}'(x)= \overline{c_1} (\cos x - x \sin x) + \overline{c_2} (\sin x + x \cos x)$
$\overline{y}''(x)= \overline{c_1} (-2 \sin x - x \cos x) + \overline{c_2} (2 \cos x - x \sin x)$
Dunque $\overline{y}''(x)+\overline{y}(x) = \overline{c_1} (-2 \sin x - x \cos x) + \overline{c_2} (2 \cos x - x \sin x) + \overline{c_1} x \cos x + \overline{c_2} x \sin x = -2 \overline{c_1} \sin x + 2 \overline{c_2} \cos x$, da cui $\overline{c_1}=-1/2$, $\overline{c_2}=0$.
La soluzione generale è dunque della forma $y(x) = c_1 \cos x + c_2 \sin x + \overline{y}(x) = c_1 \cos x + c_2 \sin x -1/2 x \cos x$.
$(D^2+I) y=\sin x$
La soluzione dell'omogenea associata è $c_1 \cos x + c_2 \sin x$. Dal momento che $\sin x \in \ker (D^2+I)$, dobbiamo considerare il complementare di una base di $\ker (D^2+I)$ in $\ker {(D^2+I)}^2=\{ \cos x, \sin x, x \cos x, x \sin x \}$.
Dunque una soluzione particolare dell'equazione sarà della forma $\overline{y}(x) = \overline{c_1} x \cos x + \overline{c_2} x \sin x$, con $\overline{c_1}$ e $\overline{c_2}$ da determinare.
Facciamo le derivate di una tale funzione:
$\overline{y}'(x)= \overline{c_1} (\cos x - x \sin x) + \overline{c_2} (\sin x + x \cos x)$
$\overline{y}''(x)= \overline{c_1} (-2 \sin x - x \cos x) + \overline{c_2} (2 \cos x - x \sin x)$
Dunque $\overline{y}''(x)+\overline{y}(x) = \overline{c_1} (-2 \sin x - x \cos x) + \overline{c_2} (2 \cos x - x \sin x) + \overline{c_1} x \cos x + \overline{c_2} x \sin x = -2 \overline{c_1} \sin x + 2 \overline{c_2} \cos x$, da cui $\overline{c_1}=-1/2$, $\overline{c_2}=0$.
La soluzione generale è dunque della forma $y(x) = c_1 \cos x + c_2 \sin x + \overline{y}(x) = c_1 \cos x + c_2 \sin x -1/2 x \cos x$.
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