Equazione differenziale...

[Faith2]

[(y')^2](1 - x^2) - x^2 = 0

Qualcuno riesce ad aiutarmi con questa equazione differenziale?[/quote][/code]

[eugenio.amitrano]

Ciao,
per la presenza unica di $y'$
direi di portarla nella forma:
$y' = f(x)$
dove
$y = intf(x)dx$

Giusto ?

EugenioA

[Faith2]

Grazie!

Però il mio problema è un altro..

Se esplicito y' in funzione di x ottengo due equazioni differenziali perchè y' compare elevata al quadrato (giusto?) :

y'= |x| / [(1 - x^2)]^(-1/2)

y'= - |x| / [(1 - x^2)]^(-1/2)

e queste due equazioni hanno senso solo se -1 < x < 1 quindi non capisco come fare per sapere se escludo soluzioni nel resto del piano.

Oltretutto non so come integrare queste due equazioni perchè compare il modulo di x... dovrei trattare separatamente i casi -1

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[Faith2]

Oops! ho messo un meno di troppo... ottengo queste due equazioni:

y'= |x| / [(1 - x^2)]^(1/2)

y'= - |x| / [(1 - x^2)]^(1/2)

[eugenio.amitrano]

vediamo come si puo' fare.

mi trovo questa condizione:
$y = -|x|*f(x)$ U $y = +|x|*f(x)$

credo che posso condurmi a:
$y = -x*f(x)$ U $y = +x*f(x)$

non sono sicuro, pero' dovrei trovarmi le stesse soluzioni, giusto ?

[vamply]

Scusa ma anche la soluzione è definita per valori compresi tra (-1;1) quindi non vedo quale possa essere il problema

[Faith2]

Anche secondo me le soluzioni sono definite in (-1,1) ma il testo dell'esercizio richiede di calcolare oltre all'integrale generale dell'equazione le soluzioni del problema di Cauchy relativo al dato iniziale y(1)=1 è per questo che ho pensato di essermi perso qualcosa.
Quindi c'è un errore nel testo?

[vamply]

Dunque la sol $y=-sqrt(1-x^2)+C$ per 0

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[Faith2]

Io non capisco...

se è vero che le soluzioni sono definite in (-1,1) come può una soluzione essere definita in x=1 in modo tale da soddisfare la condizione y(1)=1?

Allora non è vero che le soluzioni sono definite soltanto in (-1,1)?

[vamply]

Ops scusa dovevo mettere le parentesi quadre, infatti l'equazione di partenza è definita anche in 1 e -1

[Faith2]

Grazie mille!

...però non sono ancora convinto...

se nell'equazione differenziale di partenza sostituisco il valore x=1 oppure x=-1 in entrambi i casi ottengo:
-1=0
Quindi secondo me le soluzioni dell'equazione non sono definite nè in 1 nè in -1.

In che cosa sto sbagliando?

[vamply]

non hai però considerato il valore di y' per quello ti viene -1=0

[Faith2]

Ma qualsiasi sia il valore di y' se x=1 oppure x=-1 si ha che:
[(y')^2](1 - 1) -1=0 [(y'^2)](0) -1=0
e quindi ottengo -1=0

...secondo me non serve tenere conto del valore di y'...

[vamply]

non è vero che nn bisogna tener conto di y' infatti considera a*b+1 se b fosse =0 tu mi dirai che verrebbe 1 a prescindere da a, ma se a=1/b? Allora verrebbe 2, e la stessa cosa accede con y' che è una funzione di x e che ha come denominatore (1-x^2)