EQUAZIONE DIFFERENZIALE

[Cappagoal]

trovare l'integrale generale di:

y''+y=1+xe^x
p.s ^x sta per e elevato a x mi servono tutti i passaggi vi prego

[alfiotto]

io ho proceduto così

considero l'equazione algebrica associata all'omogenea
t^2+t=0
che ha 2 radici immaginarie:+i,-i.
quindi la soluzione dell'omogenea è
Acosx + Bsinx

ora cerco di determinare una soluzione particolare dell'equazione completa. per farlo guardo il "termine noto":1+xe^x
e cerco una soluzione nella forma: y=k+(ax+b)e^x.
con a,b e k da determinare. per farlo impongo che questa funzione soddisfi l'equazione di partenza. quindi trovo la derivata seconda e sostituisco.
ottengo:
e^x(2a+2b+2ax)+k = 1+xe^x
da cui: k=1, a=1/2, b=-1/2.
quindi una soluzione particolare é:
y=1 + 1/2(x-1)e^x

la soluzione generale dell'equazione di partenza è data dalla somma della soluzione generale dell'omogenea e della soluzione particolare appena trovata:
y=Acosx + Bsinx + 1 + 1/2(x-1)e^x

spero che sia tutto chiaro.
ciao

Alfi

[alfiotto]

scusa mi sono accorto di un piccolo errore.
l'equazione algebrica associata è
t^2+1 e non t^2+t.
è quella che ha 2 soluzioni immaginarie naturalmente.
ciao