Equazione differenziale
Considerata l'equazione differenziale
si chiede:
grafico dal quale risulta monotonia delle soluzioni
grafico dal quale risulti concavità e convessità delle soluzioni
grafico della soluzione massimale relativa alla condizione iniziale (o,1/2)
Vi ringrazio anticipatamente.
si chiede:
grafico dal quale risulta monotonia delle soluzioni
grafico dal quale risulti concavità e convessità delle soluzioni
grafico della soluzione massimale relativa alla condizione iniziale (o,1/2)
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Ciao!
Dunque, la soluzione è monotona in un intervallo se y' non cambia segno in quell'intervallo. Dall'eq. differenziale:
segno della derivata
y'>0
-(y^2-6y+8)^5 > 0
y^2 - 6y + 8 < 0
2
Cioè il piano xy viene diviso in tre strisce orizzontali:
y<2 sol decrescente
2
y=2 è soluzione di equilibrio instabile
y=4 è soluzione di equilibrio stabile
Passiamo alla concavità:
y''= -5(y^2-6y+8)^4 * (2y-6)*y'>0
y<2 concavità verso il basso
2
La cond. iniziale è (0;1/2).
Essendo 1/2<2 la soluzione decresce con concavità negativa (verso il basso).
Si parte dal punto (0;1/2) con pendenza:
y'(1/2)=-(1/4-3+8)^5=-(21/4)^5 (quasi verticale)
poi la pendenza (aumentando x) si avvicina sempre di + alla verticale con concavità rivolta verso il basso e la funzione va a meno infinito.
Spero che leggendo ti sia fatto un grafico per capire meglio!
Dunque, la soluzione è monotona in un intervallo se y' non cambia segno in quell'intervallo. Dall'eq. differenziale:
segno della derivata
y'>0
-(y^2-6y+8)^5 > 0
y^2 - 6y + 8 < 0
2
Cioè il piano xy viene diviso in tre strisce orizzontali:
y<2 sol decrescente
2
y=2 è soluzione di equilibrio instabile
y=4 è soluzione di equilibrio stabile
Passiamo alla concavità:
y''= -5(y^2-6y+8)^4 * (2y-6)*y'>0
y<2 concavità verso il basso
2
La cond. iniziale è (0;1/2).
Essendo 1/2<2 la soluzione decresce con concavità negativa (verso il basso).
Si parte dal punto (0;1/2) con pendenza:
y'(1/2)=-(1/4-3+8)^5=-(21/4)^5 (quasi verticale)
poi la pendenza (aumentando x) si avvicina sempre di + alla verticale con concavità rivolta verso il basso e la funzione va a meno infinito.
Spero che leggendo ti sia fatto un grafico per capire meglio!
Grazie per la disponibilità che mi hai dato e per quella che mi darai, perchè avrò ancora bisogno di te!! Ciao.
Eh, vedi goblyn, ti fanno lavorare...
Meno male che ho il sabato libero fino alla prossima settimana, così la mattina al posto della scuola posso essere qui con voi
!
fireball
Modificato da - fireball il 27/09/2003 12:14:26
Meno male che ho il sabato libero fino alla prossima settimana, così la mattina al posto della scuola posso essere qui con voi
!fireball
Modificato da - fireball il 27/09/2003 12:14:26
sì aiuto non ce la faccio +... scherzo ovviamente!
Prestate un servizio tanto utile quanto apprezzabile. Grazie ancora. Ciao!!
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