Equazione differenziale 2° ordine
Salve a tutti innanzitutto 
Ho questa equazione:
${(xy''+y'=e^(-x)(1-x)),(y(1)=y'(1)=0):}$
Come faccio a trovarmi le soluzioni dell'omogenea?
Ho provato in qualche modo ma non so se è sbagliato, a me verrebbero:
$c_1ln(x)+c_2$
Grazie
Ho questa equazione:
${(xy''+y'=e^(-x)(1-x)),(y(1)=y'(1)=0):}$
Come faccio a trovarmi le soluzioni dell'omogenea?
Ho provato in qualche modo ma non so se è sbagliato, a me verrebbero:
$c_1ln(x)+c_2$
Grazie
Risposte
La soluzione è giusta, Mach.
Il metodo corretto è introdurre una variabile ausiliaria, $z=y'$,in modo da abbassare l'ordine dell'equazione, risolvere in $z$ e poi integrare la $z$ per determinare $y$.
In formule, trovi $xz'+z=0$ e quindi $z=c_1/x$, da cui per quadratura trai $y=c_1 lnx+c_2$ (a rigore avrei dovuto mettere $ln|x|$, ma siccome hai le condizioni iniziali assegnate per $x=1$ è chiaro che devi prendere la soluzione definita in $]0,+oo[$).
Per risolvere l'equazione completa ti tocca applicare il metodo di variazione delle costanti.
Il metodo corretto è introdurre una variabile ausiliaria, $z=y'$,in modo da abbassare l'ordine dell'equazione, risolvere in $z$ e poi integrare la $z$ per determinare $y$.
In formule, trovi $xz'+z=0$ e quindi $z=c_1/x$, da cui per quadratura trai $y=c_1 lnx+c_2$ (a rigore avrei dovuto mettere $ln|x|$, ma siccome hai le condizioni iniziali assegnate per $x=1$ è chiaro che devi prendere la soluzione definita in $]0,+oo[$).
Per risolvere l'equazione completa ti tocca applicare il metodo di variazione delle costanti.
Ti ringrazio
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