EQUAZIONE DIFFERENZIALE 2 ORDINE
Di nuovo ciao a tutti!
Ho un'altra equazione differenziale in cui non so proprio come procedere, so che bisogna costruirsi un sistema ponendo y'=z e z'-2z=4x+6 ma poi? qualcuno potrebbe spiegarmi dettagliatamente i passaggi? ecco il PDC:
y''-2y'=4x+6
y(0)=0
y'(0)=-4
grazie mille
Ho un'altra equazione differenziale in cui non so proprio come procedere, so che bisogna costruirsi un sistema ponendo y'=z e z'-2z=4x+6 ma poi? qualcuno potrebbe spiegarmi dettagliatamente i passaggi? ecco il PDC:
y''-2y'=4x+6
y(0)=0
y'(0)=-4
grazie mille
Risposte
è un'equazione differenziale del secondo ordine. devi trovare le soluzioni dell'equazione omogenea associata e una soluzione particolare della tua equazione inizial. la soluzione del PdC è data dalla somma delle due soluzioni appena trovate.
Si, questo lo so. Ma in questo caso b (quindi y) è =0, quindi dovresti costruirti il sistema che ho detto sopra.
La soluzione totale è data, come sai, dalla somma di omogenea e particolare (non-omogenea). Il metodo che dicevi prima io l'ho visto applicare solo per le omogenee e secondo me manco in quel frangente ne vale la pena.
Comunque, procediamo con il metodo standard per le omogenee (che funziona a prescindere dal valore dei coefficienti sinché parliamo di una differenziale di secondo grado). Come saprai, l'idea è sostituire una soluzione che pare aver senso e cioè un esponenziale. C'è però da dire che questa sostituzione porta sempre allo stesso risultato: si ottiene un'equazione caratteristica in cui i termini hanno un grado identico all'ordine della derivata:
$ y'' - 2y' = 0 $
$ lambda^2 -2lambda = 0 rArr lambda_1 = 0, lambda_2 = 2 $
La soluzione generale omogenea è quindi
$ y_o = Ae^(lambda_1x) + Be^(lambda_2x) = A + Be^(2x) $
Per quanto concerne l'integrale particolare tentiamo con
$ y_p = a_1x^2 + a_2x rArr y'_p = 2a_1x + a_2 rArr y''_p = 2a_1 $
E sostituiamo nella differenziale originale
$ -4a_1x + (2a_1-2a_2) = 4x + 6 $
Per ispezione costruiamo il sistema
$ { ( -4a_1=4 ),( 2a_1 - 2a_2 = 6 ):}{ ( a_1=-1 ),( a_2 = -4 ):} $
L'integrale particolare è quindi
$ y_p = -x^2 -4x$
Sommiamo ed ecco la soluzione generale totale
$y = y_o + y_p = A + Be^(2x) -x^2 -4x $
Puoi verificare che sia corretta semplicemente trovando la derivata prima e seconda e sostituendo nella differenziale originale. In conclusione, applicando le condizioni al contorno che ci hai fornito, troviamo la soluzione particolare del problema
$y = -x^2 -4x$
Comunque, procediamo con il metodo standard per le omogenee (che funziona a prescindere dal valore dei coefficienti sinché parliamo di una differenziale di secondo grado). Come saprai, l'idea è sostituire una soluzione che pare aver senso e cioè un esponenziale. C'è però da dire che questa sostituzione porta sempre allo stesso risultato: si ottiene un'equazione caratteristica in cui i termini hanno un grado identico all'ordine della derivata:
$ y'' - 2y' = 0 $
$ lambda^2 -2lambda = 0 rArr lambda_1 = 0, lambda_2 = 2 $
La soluzione generale omogenea è quindi
$ y_o = Ae^(lambda_1x) + Be^(lambda_2x) = A + Be^(2x) $
Per quanto concerne l'integrale particolare tentiamo con
$ y_p = a_1x^2 + a_2x rArr y'_p = 2a_1x + a_2 rArr y''_p = 2a_1 $
E sostituiamo nella differenziale originale
$ -4a_1x + (2a_1-2a_2) = 4x + 6 $
Per ispezione costruiamo il sistema
$ { ( -4a_1=4 ),( 2a_1 - 2a_2 = 6 ):}{ ( a_1=-1 ),( a_2 = -4 ):} $
L'integrale particolare è quindi
$ y_p = -x^2 -4x$
Sommiamo ed ecco la soluzione generale totale
$y = y_o + y_p = A + Be^(2x) -x^2 -4x $
Puoi verificare che sia corretta semplicemente trovando la derivata prima e seconda e sostituendo nella differenziale originale. In conclusione, applicando le condizioni al contorno che ci hai fornito, troviamo la soluzione particolare del problema
$y = -x^2 -4x$
@Resilienza
[ot]ti prego dimmi che il tuo nome non è per Gianluca Vacchi
[/ot]
[ot]ti prego dimmi che il tuo nome non è per Gianluca Vacchi
[/ot]
"anto_zoolander":
@Resilienza
[ot]ti prego dimmi che il tuo nome non è per Gianluca Vacchi
[ot]No, no, figurati
Conoscevo il tipo ma ho dovuto googlarlo per capire a chi ti riferissi. Resilienza è una parola dal bel significato e con un suono gradevole, semplicemente.[/ot]
stavo leggendo l'esercizio, non ho capito come hai trovato la particolare yp, attendo lumi
ultimo ot
[ot]grazie. Ci sono ancora persone che conoscono la parola per il suo significato[/ot]
[ot]grazie. Ci sono ancora persone che conoscono la parola per il suo significato
[/ot]
"hero_94":
stavo leggendo l'esercizio, non ho capito come hai trovato la particolare yp, attendo lumi
La soluzione particolare la determini in base a cosa hai nella parte destra dell'equazione. Spiegarlo qui prenderebbe un po' di tempo (e comunque è una cosa che non so a memoria), ma sono più che sicuro che se fai una ricerca su internet o sul tuo libro di testo trovi spiegato come fare.
si questo è chiaro, io seguo questa formula
$ y_p=x^h(Q_1e^(ax)cosbx+Q_2e^(ax)sinbx) $
h è uguale zero perché lambda numeri reali
a e b saranno uguali a 0
il problema è determinare le Q
prendo ogni termine a dx dell'uguale separatamente
per 4x dovrebbe essere ax+b
per 6 semplicemente c, cioè una costante
è sicuramente qualche parte di questo passaggio che non ho capito
$ y_p=x^h(Q_1e^(ax)cosbx+Q_2e^(ax)sinbx) $
h è uguale zero perché lambda numeri reali
a e b saranno uguali a 0
il problema è determinare le Q
prendo ogni termine a dx dell'uguale separatamente
per 4x dovrebbe essere ax+b
per 6 semplicemente c, cioè una costante
è sicuramente qualche parte di questo passaggio che non ho capito
"hero_94":
stavo leggendo l'esercizio, non ho capito come hai trovato la particolare yp, attendo lumi
In questo caso la \(\displaystyle g(x) \) é del tipo \(\displaystyle e^{\alpha*x }*qn(x) \), con \(\displaystyle \alpha = 0 \).
Per trovare la soluzione particolare bisogna innanzi tutto controllare se \(\displaystyle \alpha \) (che in questo caso é 0) è soluzione dell'equazione \(\displaystyle P(\lambda) \).
-Se \(\displaystyle P(\alpha)=0 \) ---> \(\displaystyle yp=x*qn(x)*e^{\alpha*x} \) , dove \(\displaystyle qn(x) \) è un polinomio dello stesso grado della \(\displaystyle g(x) \);
-Se \(\displaystyle P(\alpha) \ne 0 \) --->\(\displaystyle yp=qn(x)*e^{\alpha*x} \)
sinceramente quel metodo che dicevo l'ho visto applicato anche alle non omogenee ma riesce il metodo classico quindi grazie mille 
"lisandro26":
[quote="hero_94"]stavo leggendo l'esercizio, non ho capito come hai trovato la particolare yp, attendo lumi
In questo caso la \(\displaystyle g(x) \) é del tipo \(\displaystyle e^{\alpha*x }*qn(x) \), con \(\displaystyle \alpha = 0 \).
Per trovare la soluzione particolare bisogna innanzi tutto controllare se \(\displaystyle \alpha \) (che in questo caso é 0) è soluzione dell'equazione \(\displaystyle P(\lambda) \).
-Se \(\displaystyle P(\alpha)=0 \) ---> \(\displaystyle yp=x*qn(x)*e^{\alpha*x} \) , dove \(\displaystyle qn(x) \) è un polinomio dello stesso grado della \(\displaystyle g(x) \);
-Se \(\displaystyle P(\alpha) \ne 0 \) --->\(\displaystyle yp=qn(x)*e^{\alpha*x} \)[/quote]
non ho capito
ok ricapitoliamo un'attimo
a dx dell'uguale abbiamo 4x+6
uso il metodo della somiglianza (lo so mi complico un'attimo la vita ma mi serve per capire bene come applicare sta formula)
le formule da usare sono le seguenti
$ p_1e^(ax)cosbx+P_2e^(ax)sinbx $
al primo termine abbiamo P1=4x P2=0 a=0 e b=0
al secondo termine P1=6 P2=0 a=0 b=0
ora si utilizza questa
$ bar(y)(x)=x^h(Q_1(x)e^(ax)cosbx+Q_2(x)e^(ax)sinbx $
avendo radici reali h=0 e quindi "scompare"
Q equivale al polinomio del termine di grado più alto
il termine di grado più alto è 4x
quindi la particolare sarà $ Ax+B $
se ho capito bene quello che hai scritto, se ho a=0 devo moltiplicare x
quindi la particolare diventa $ Ax^2+Bx $
ho capito bene?
Facendola più semplice, considera $ bar(y)(x)=x^h(Q_1(x)e^(ax)cosbx+Q_2(x)e^(ax)sinbx) $ e verifica se $a+ib = lambda_(1,2)$. Il numero di radici $lambda$ che soddisfano quest'equazione è il numero che devi mettere come esponente in $x^h$.
In altre parole, se $lambda_1 = a +ib$ o $lambda_2 = a+ ib$ imposti $h=1$, se $lambda_(1,2) = a + ib$ imponi $h=2$ e se non è uguale a nessuna radice non moltiplichi proprio (o se preferisci puoi vederla come un prodotto con $x^0 = 1$).
In altre parole, se $lambda_1 = a +ib$ o $lambda_2 = a+ ib$ imposti $h=1$, se $lambda_(1,2) = a + ib$ imponi $h=2$ e se non è uguale a nessuna radice non moltiplichi proprio (o se preferisci puoi vederla come un prodotto con $x^0 = 1$).
esatto, quindi avendo radici reali (come in questo caso) h sarà uguale a 0, è questo è chiaro
non capisco da dove esce la x in più
non capisco da dove esce la x in più
Lascia perdere l'insieme di appartenenza delle radici.
$a + ib = 0 = lambda_1 rArr h=1$
Di conseguenza moltiplichi il polinomio per $x$.
$a + ib = 0 = lambda_1 rArr h=1$
Di conseguenza moltiplichi il polinomio per $x$.
ok credo di aver capito
quindi le soluzioni lambda della omogenea sono 2, 0 e 2
quindi essendo che c'è una soluzione uguale a 0, devo mettere 1
posso sapere su quale testo l'hai letto?
io so che la h dipende dalla molteplicità delle lambda, se sono soluzioni reali (come in questo caso) h è uguale a 0, solo in caso di soluzioni complesse entra in gioco $ x^h $
EDIT credo di aver capito la differenza
nel caso in cui l'esponente a=0, c'è un procedimento leggermente diverso
nel caso invece è presente il termine $e^(ax)$, si deve seguire quello che ho scritto io (non è questo il caso)
chiedo conferma
quindi le soluzioni lambda della omogenea sono 2, 0 e 2
quindi essendo che c'è una soluzione uguale a 0, devo mettere 1
posso sapere su quale testo l'hai letto?
io so che la h dipende dalla molteplicità delle lambda, se sono soluzioni reali (come in questo caso) h è uguale a 0, solo in caso di soluzioni complesse entra in gioco $ x^h $
EDIT credo di aver capito la differenza
nel caso in cui l'esponente a=0, c'è un procedimento leggermente diverso
nel caso invece è presente il termine $e^(ax)$, si deve seguire quello che ho scritto io (non è questo il caso)
chiedo conferma
Non so darti una dimostrazione o una fonte autorevole.
Immagino che abbia a che fare con il fatto che $a+ib$ è la forma generale di $lambda$, nel senso che $lambda in ℂ$, e che vuoi evitare di riavere una soluzione non-omogenea identica a quella omogenea. Fai caso, infatti, che se $lambda = m+i n$ allora $m$ e $n$ te li ritrovi come coefficienti della $x$ in sinusoidi ed esponenziali della soluzione omogenea, cioè quello che intendiamo con $a$ e $b$ nella soluzione non-omogenea.
Immagino che abbia a che fare con il fatto che $a+ib$ è la forma generale di $lambda$, nel senso che $lambda in ℂ$, e che vuoi evitare di riavere una soluzione non-omogenea identica a quella omogenea. Fai caso, infatti, che se $lambda = m+i n$ allora $m$ e $n$ te li ritrovi come coefficienti della $x$ in sinusoidi ed esponenziali della soluzione omogenea, cioè quello che intendiamo con $a$ e $b$ nella soluzione non-omogenea.
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