Equazione differenziale 2
eccomi qui..
c'e' qualcosa che non mi torna nell'esercizio che sto per proporvi:
l'equazione da risolvere e' questa:
$x'=x^3-2x$
$x(0)=1/2$
e' un'equazione a variabili separabili che svolgo cosi:
$int_(1/2)^x 1/(x^3-2x)=t$
questo dovrebbe essere un integrale fratto
$1/(x^3-2x)=1/(x(x^2-1))=1/(x(x+sqrt(2))(x-sqrt(2)))$
$1/(x^3-2x)=A/x+B/(x+sqrt(2))+C/(x-sqrt(2))$
a me vengono
$A=-1/2$
$B=C=1/4$
il problema pero' viene qui, quando vado a svolgere l'integrale..
$-1/2 log(x)]_(1/2)^x+1/4[log(x+sqrt(2))+log(x-sqrt(2))]_(1/2)^x=$
$=-1/2 log(x/(1/2))+1/4[log((x+sqrt(2))/(1/2+sqrt(2)))+log((x-sqrt(2))/(1/2-sqrt(2)))]
l'argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi per il primo termine: $x>=0$, per il secondo: $x>=-sqrt(2)$, per il terzo: $x<=sqrt(2)$
secondo voi e' corretto come ho fatto??
c'e' qualcosa che non mi torna nell'esercizio che sto per proporvi:
l'equazione da risolvere e' questa:
$x'=x^3-2x$
$x(0)=1/2$
e' un'equazione a variabili separabili che svolgo cosi:
$int_(1/2)^x 1/(x^3-2x)=t$
questo dovrebbe essere un integrale fratto
$1/(x^3-2x)=1/(x(x^2-1))=1/(x(x+sqrt(2))(x-sqrt(2)))$
$1/(x^3-2x)=A/x+B/(x+sqrt(2))+C/(x-sqrt(2))$
a me vengono
$A=-1/2$
$B=C=1/4$
il problema pero' viene qui, quando vado a svolgere l'integrale..
$-1/2 log(x)]_(1/2)^x+1/4[log(x+sqrt(2))+log(x-sqrt(2))]_(1/2)^x=$
$=-1/2 log(x/(1/2))+1/4[log((x+sqrt(2))/(1/2+sqrt(2)))+log((x-sqrt(2))/(1/2-sqrt(2)))]
l'argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi per il primo termine: $x>=0$, per il secondo: $x>=-sqrt(2)$, per il terzo: $x<=sqrt(2)$
secondo voi e' corretto come ho fatto??
Risposte
ciao, non vorrei sbagliarmi ma per un problema di Cauchy di questo tipo credo sia meglio calcolare l'integrale generale, cioè a meno di una costante $C$ e poi risolvere la condizione iniziale mettendo $x=0$ nell'integrale generale e trovare la costante.
per quanto riguarda gli integrali delle frazioni, le primitive (cioè i logaritmi) hanno il valore assoluto del denominatore così non hai problemi del segno dell'argomento.
per quanto riguarda gli integrali delle frazioni, le primitive (cioè i logaritmi) hanno il valore assoluto del denominatore così non hai problemi del segno dell'argomento.
Il procedimento, ossia il calcolo della soluzione sfruttando gli integrali definiti, è sicuramente corretto. Alla faccia degli urang-utang©!
Ovviamente controlla i conti per bene.
Il problema è che hai un integrale in forma implicita (infatti si presenta nella forma $f(x)=t$, con $f(x)$ tutto quel macello che esce fuori dall'integrale al primo membro), quindi dovresti cercare di esplicitarlo rispetto ad $x$.
@Akuma: meglio se dai una lettura veloce alle dispense di Fioravante Patrone.
Ovviamente controlla i conti per bene.
Il problema è che hai un integrale in forma implicita (infatti si presenta nella forma $f(x)=t$, con $f(x)$ tutto quel macello che esce fuori dall'integrale al primo membro), quindi dovresti cercare di esplicitarlo rispetto ad $x$.
@Akuma: meglio se dai una lettura veloce alle dispense di Fioravante Patrone.
"Gugo82":
Alla faccia degli urang-utang©!
...
@Akuma: meglio se dai una lettura veloce alle dispense di Fioravante Patrone.
ad esplicitare ci rinuncio proprio, ma che altro metodo alternativo potrei utilizzare?
tanto per cambiare non ho capito cosa intende Akuma con integrale generale..
se questo e' il sistema, il prof mi chiede semplicemente i limiti della funzione $x(t)$ , ma credo (e spero) voglia solamente un'analisi qualitativa e spannometrica della faccenda, infatti se i calcoli sono corretti, io avrei la $t(x)$ che come intervallo di esistenza e' $0<=x<=sqrt(2)$, il limite per $x->0^+$ e' +infinito mentre per $x->sqrt(2)$ e' -infinito.. vuole un grafico della funzione e morta li..
la funzione e' biiettiva e invertibile, ma ad invertirla, non ci penso proprio..
tanto per cambiare non ho capito cosa intende Akuma con integrale generale..
se questo e' il sistema, il prof mi chiede semplicemente i limiti della funzione $x(t)$ , ma credo (e spero) voglia solamente un'analisi qualitativa e spannometrica della faccenda, infatti se i calcoli sono corretti, io avrei la $t(x)$ che come intervallo di esistenza e' $0<=x<=sqrt(2)$, il limite per $x->0^+$ e' +infinito mentre per $x->sqrt(2)$ e' -infinito.. vuole un grafico della funzione e morta li..
la funzione e' biiettiva e invertibile, ma ad invertirla, non ci penso proprio..
"mashiro":? Tu non sai cosa vuol dire integrale generale di una equazione differenziale?
tanto per cambiare non ho capito cosa intende Akuma con integrale generale..
mi sono espresso male..
piu' che non sapere che cos'e' un'integrale generale non ho capito il discorso di Akuma.. chiedo lumi..
piu' che non sapere che cos'e' un'integrale generale non ho capito il discorso di Akuma.. chiedo lumi..
"mashiro":
mi sono espresso male..
piu' che non sapere che cos'e' un'integrale generale non ho capito il discorso di Akuma.. chiedo lumi..
infatti avevo premesso che non ero sicuro, effettivamente avevo interpretato male il problema (sono anche un po fuori allenamento) il discorso l'ho fatto come se l'equazione fosse del tipo $dy/dx=x^3-2x$ ecc... e solo ora noto che non è cosi
scusate se ho messo po di confusione...
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