Equazione Differenziale
Ciao a tutti!
Sto cercando di risolvere questa equazione differenziale, ma non sono riuscito a trovare una tecnica utile.
$(y')^2-y+2y'-x=0$
Sono andato per esclusione,ovvero non è una a var.separabili,ne una lineare non omogenea, ne di Manfredi o Bernoulli, neppure una non normale, Clairaut o d'Alembert..
Avevo pensato di sostituire $y'=p(x)$ ma non riesco comunque a risolverla..
Consigli??
Grazie
Sto cercando di risolvere questa equazione differenziale, ma non sono riuscito a trovare una tecnica utile.
$(y')^2-y+2y'-x=0$
Sono andato per esclusione,ovvero non è una a var.separabili,ne una lineare non omogenea, ne di Manfredi o Bernoulli, neppure una non normale, Clairaut o d'Alembert..
Avevo pensato di sostituire $y'=p(x)$ ma non riesco comunque a risolverla..
Consigli??
Grazie
Risposte
"A occhio", un integrale lo puoi cercare come polinomio di secondo grado, poiché i gradi dei vari termini si "incastrano" bene... Prova.
P.S.: Da dove esce? Di solito non si assegnano problemi così, a meno che non si sia visto qualche caso simile a lezione (ed in tal caso dovresti saperlo).
P.P.S.: A pensarci bene, poi, potresti "risolvere" brutalmente così.
La EDO $[y'(x)]^2 + 2y'(x) - (x+y) = 0$ è algebrica di secondo grado in $y'(x)$, quindi si può mettere in forma normale se $Delta > 0$; il discriminante ridotto è:
$Delta/4 = 1 + x + y(x)$
ed esso è non negativo solo se $y(x) > -x-1 $; in tal caso, allora, il tuo integrale deve vivere nel semipiano $S^+$ al disopra della retta di equazione $y = -x - 1$ ed è la soluzione di una delle due EDO in forma normale:
$y'(x) = -1 +- sqrt(1+x+y(x))$;
queste due EDO sono più semplici da risolvere poiché sono equivalenti a:
$y'(x) + 1 = +- sqrt(1+x+y(x))$
ossia a:
$"d"/("d"x) [y(x) + x] = +- sqrt(1+ [y(x) + x])$
che, col cambiamento di incognita $u(x) = y(x) + x$, diventano:
$u'(x) = +- sqrt(1 + u(x))$
entrambe a variabili separabili.
Se scegli un punto iniziale $(x_0,y_0)$ appartenente al semipiano $S^+$, si vede facendo i calcoli che per tale punto passano due integrali della EDO (uno corrispondente al segno $+$ e l'altro corrispondente al segno $-$ davanti alla radice).
Viceversa, se scegli $(x_0,y_0)$ nel semipiano $S^-$ al disotto della retta $r:y=-x-1$, non ci sono integrali della EDO che passano per tale punto: infatti, se, per assurdo, supponi esistente una soluzione della tua EDO passante per $(x_0,y_0)$, calcolando tutto in $x_0$ troveresti:
$[y'(x_0)]^2 + 2y'(x_0) - (x_0+y_0) > [y'(x_0)]^2 + 2y'(x_0) + 1 = [y'(x_0) + 1]^2 >= 0$
quindi $[y'(x_0)]^2 + 2y'(x_0) - (x_0+y_0) > 0$ contro il fatto che $[y'(x_0)]^2 + 2y'(x_0) - (x_0+y_0) = 0$ per definizione di soluzione.
Probabilmente, se scegli $(x_0,y_0)$ su $r$, in tal punto dovrebbero "collassare" almeno due integrali distinti della EDO... Ma non ho fatto i conti.
P.S.: Da dove esce? Di solito non si assegnano problemi così, a meno che non si sia visto qualche caso simile a lezione (ed in tal caso dovresti saperlo).
P.P.S.: A pensarci bene, poi, potresti "risolvere" brutalmente così.
La EDO $[y'(x)]^2 + 2y'(x) - (x+y) = 0$ è algebrica di secondo grado in $y'(x)$, quindi si può mettere in forma normale se $Delta > 0$; il discriminante ridotto è:
$Delta/4 = 1 + x + y(x)$
ed esso è non negativo solo se $y(x) > -x-1 $; in tal caso, allora, il tuo integrale deve vivere nel semipiano $S^+$ al disopra della retta di equazione $y = -x - 1$ ed è la soluzione di una delle due EDO in forma normale:
$y'(x) = -1 +- sqrt(1+x+y(x))$;
queste due EDO sono più semplici da risolvere poiché sono equivalenti a:
$y'(x) + 1 = +- sqrt(1+x+y(x))$
ossia a:
$"d"/("d"x) [y(x) + x] = +- sqrt(1+ [y(x) + x])$
che, col cambiamento di incognita $u(x) = y(x) + x$, diventano:
$u'(x) = +- sqrt(1 + u(x))$
entrambe a variabili separabili.
Se scegli un punto iniziale $(x_0,y_0)$ appartenente al semipiano $S^+$, si vede facendo i calcoli che per tale punto passano due integrali della EDO (uno corrispondente al segno $+$ e l'altro corrispondente al segno $-$ davanti alla radice).
Viceversa, se scegli $(x_0,y_0)$ nel semipiano $S^-$ al disotto della retta $r:y=-x-1$, non ci sono integrali della EDO che passano per tale punto: infatti, se, per assurdo, supponi esistente una soluzione della tua EDO passante per $(x_0,y_0)$, calcolando tutto in $x_0$ troveresti:
$[y'(x_0)]^2 + 2y'(x_0) - (x_0+y_0) > [y'(x_0)]^2 + 2y'(x_0) + 1 = [y'(x_0) + 1]^2 >= 0$
quindi $[y'(x_0)]^2 + 2y'(x_0) - (x_0+y_0) > 0$ contro il fatto che $[y'(x_0)]^2 + 2y'(x_0) - (x_0+y_0) = 0$ per definizione di soluzione.
Probabilmente, se scegli $(x_0,y_0)$ su $r$, in tal punto dovrebbero "collassare" almeno due integrali distinti della EDO... Ma non ho fatto i conti.
Ciao Dr.Hermann,
Invece, a parte che si scrive d'Alembert, è proprio lei...
Infatti quelle di d'Alembert sono equazioni differenziali ordinarie che si possono scrivere nella forma seguente:
$y= xf(y')+g(y') $
ove $ y'= (text{d}y)/(text{d}x) $ e $f$ e $g $ sono funzioni date. L'equazione differenziale proposta si può facilmente ricondurre alla forma menzionata, infatti si ha:
$ (y')^2-y+2y'-x=0 $
$y = (y')^2 + 2y'- x $
$y = x(- 1) + (y')^2 + 2y' $
Pertanto nel caso in esame $f(y') = - 1 $ e $g(y') = (y')^2 + 2y' = (y' + 1)^2 - 1 $
"Dr.Hermann":
neppure una [...] d'Alambert..
Invece, a parte che si scrive d'Alembert, è proprio lei...
Infatti quelle di d'Alembert sono equazioni differenziali ordinarie che si possono scrivere nella forma seguente:
$y= xf(y')+g(y') $
ove $ y'= (text{d}y)/(text{d}x) $ e $f$ e $g $ sono funzioni date. L'equazione differenziale proposta si può facilmente ricondurre alla forma menzionata, infatti si ha:
$ (y')^2-y+2y'-x=0 $
$y = (y')^2 + 2y'- x $
$y = x(- 1) + (y')^2 + 2y' $
Pertanto nel caso in esame $f(y') = - 1 $ e $g(y') = (y')^2 + 2y' = (y' + 1)^2 - 1 $
E chi se la ricordava... 
In tal caso, esisterà un metodo standard che consente di controllare i risultati che ho determinato "ad occhio".
P.S.: Clairaut, con due 'a'.
In tal caso, esisterà un metodo standard che consente di controllare i risultati che ho determinato "ad occhio".
P.S.: Clairaut, con due 'a'.
Grazie mille,gentilissimi. (Ho provveduto anche a correggere).
"Dr.Hermann":
Grazie mille,gentilissimi. (Ho provveduto anche a correggere).
Prego... Ma alla fine hai risolto? In che modo?
"gugo82":
[quote="Dr.Hermann"]Grazie mille,gentilissimi. (Ho provveduto anche a correggere).
Prego... Ma alla fine hai risolto? In che modo?[/quote]
Ho fatto come ha suggerito pilloeffe.
"pilloeffe":
Ciao Dr.Hermann,
[quote="Dr.Hermann"]neppure una [...] d'Alambert..
Invece, a parte che si scrive d'Alembert, è proprio lei...
Infatti quelle di d'Alembert sono equazioni differenziali ordinarie che si possono scrivere nella forma seguente:
$ y= xf(y')+g(y') $
ove $ y'= (text{d}y)/(text{d}x) $ e $ f $ e $ g $ sono funzioni date. L'equazione differenziale proposta si può facilmente ricondurre alla forma menzionata, infatti si ha:
$ (y')^2-y+2y'-x=0 $
$ y = (y')^2 + 2y'- x $
$ y = x(- 1) + (y')^2 + 2y' $
Pertanto nel caso in esame $ f(y') = - 1 $ e $ g(y') = (y')^2 + 2y' = (y' + 1)^2 - 1 $[/quote]
Quindi ho posto:
$ y'=dy/dx=p(x) $
Poi ho sostituito nell'equazione:
$ y= x(-1)+2p+p^2 $
$ dy=-dx+(2+2p)dp $
$ pdx+dx=(2+2p)dp $
$ dx(1+p)=(2+2p)dp $
$dx/(dp)= 2(1+p)/(1+p)=2 $
$x(p)= \int2 dp +c $
$x(p)=2p+c$
$y=-2p-c+2p+p^2$
$y=p^(2)-c$
Io l'ho svolta cosi..
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