Equazione differenziale

[cri981]

devo risolvere la seguente equazione differenziale con problema di Cauchy:
$ { ( 2yprime+y=(x-1)y^3 ),( y(0)=1 ):} $

ho un equazione differenziale di Bernoulli

risolvendo l'equazione ottengo un equazione differenziale del primo ordine:

$ zprime(x)=-1/2z(x)+(x-1)/2 $

chiamo:
$p(x)=-1/2$
$int(px)dx=-1/2x$
$q(x)=(x-1)/2$

applico la formula risolutiva:

$e^(-int(p(x)dx)(c+inte^(intp(x)dx))=$
$e^(1/2x)(c+int(x-1)/2e^(-1/2x)dx)$

se fin qui va tutto bene come devo procedere nel risolvere l'integrale in modo semplice?
grazie

[pilloeffe]

Ciao cri98,

Non è corretta l'equazione in $z $
Infatti dividendo per $2$ l'equazione differenziale proposta in modo da ricondursi alla forma canonica dell'equazione di Bernoulli si ha:

$y' + 1/2 y = \frac{x - 1}{2} y^3 $

che è un'equazione differenziale di Bernoulli con $p(x) = 1/2 $, $q(x) = \frac{x - 1}{2}$ e $n = 3 $, per cui per risolverla si pone $z := y^{1 - 3} = y^{-2} = 1/y^2 \implies z' = - 2 y^{- 3} y' \implies -1/2 z' = y^{- 3} y'$
Moltiplicando per $y^- 3 $ l'equazione differenziale riscritta in forma canonica si ottiene:

$y^{-3}y' + 1/2 y^{- 2} = \frac{x - 1}{2} $

Quest'ultima, riscritta in $z$ diventa l'equazione differenziale seguente:

$ -1/2 z' + 1/2 z = \frac{x - 1}{2} $

ovvero

$z' - z = 1 - x $

Quest'ultima è un'equazione differenziale lineare del primo ordine di semplice soluzione, infatti dopo qualche passaggio si ottiene

$z(x) = c e^x + x $

A questo punto, ricordando che $z = 1/y^2 \implies y^2 = 1/z $, non è davvero complicato risolvere l'equazione differenziale iniziale proposta e quindi il PdC.

[cri981]

Grazie
Sei stato chiarissimo