Equazione differenziale

[Castiel96]

Salve ,vorrei una mano nel comprendere la risoluzione di questo esercizio . Ho calcolato solo l'equazione differenziale che dovrebbe essere : $y(x)=c_1+c_2 e^(2x) -2e^x$
Ma poi non so più come continuare e come applicare le condizioni descritte nel l'esercizio.
Assegnata l'equazione differenziale : $y''=2(e^x +y')$
Determinare la curva integrale passante per il punto (0,a) con la retta tangente in quel punto parallela alla retta $y=2x+1$ .
Determinare il valore di a di R in modo che tale curva integrale passi anche per il punto (2,4).

[gugo82]

"Castiel96":Ho calcolato solo l'equazione differenziale che dovrebbe essere : $y(x)=c_1+c_2 e^(2x) -2e^x$

Casomai, hai calcolato l’integrale generale dell’equazione differenziale.

"Castiel96":Ma poi non so più come continuare e come applicare le condizioni descritte nel l'esercizio.

Assegnata l'equazione differenziale:

$y''=2(e^x +y')$

Determinare la curva integrale passante per il punto $(0,a)$ con la retta tangente in quel punto parallela alla retta $y=2x+1$ .
Determinare il valore di $a in RR$ in modo che tale curva integrale passi anche per il punto $(2,4)$.

Qualche idea tua?
Cosa significa che la curva integrale passa per $(0,a)$?
Qual è l’interpretazione geometrica della derivata prima di una funzione in un punto?

[Castiel96]

Allora io avevo pensato di porre y(0)=a e poi visto che mi dice che c'è una retta tangente passante in quel punto , pongo $ y-y_o=m(x-x_o) $ con m il coefficiente angolare che non è altro che la derivata prima di y . Ma essendo parallela alla retta y=2x+1 , m dovrebbe essere pari a 2. quindi ora penso di dover porre y'(0)=2 . Avendo così un problema di cauchy. È corretto come ragionamento ?

[gugo82]

Esattissimo.
Bravo.

[Castiel96]

Mentre per determinare il valore di a devo porre la soluzione del problema di cauchy con y(2)=4 ?

[gugo82]

Giusto.

[Castiel96]

Grazie mille per la disponibilità .