Equazione differenziale

[Elia19991]

Salve vorrei sapere dove sbaglio nello svolgere la seguente equazione differenziale :

\(\displaystyle y'''+16y'=t^2 \)

Mi scrivo l'omogenea e la risolvo :

\(\displaystyle r^3+16r=0 \)

Le soluzioni dell'omogenea sono :

\(\displaystyle r=0 , r=\pm 4i \)

Da cui l'insieme delle soluzioni :

\(\displaystyle S=\{ c_{1} + c_{2} cos(4t)+c_{3} sen(4t): c_{1},c_{2},c_{3} \in R \} \)

Ora passo alla soluzione particolare che sarà del tipo :

\(\displaystyle y_{p} = at^2 +bt+c \)

Da cui le derivate :

\(\displaystyle y'_{p} = 2at+b , y''_{p}=2a , y'''_{p} = 0 \)

Quindi andando a sostituire nell'equazione differenziale di partenza si ha :

\(\displaystyle 16(2at+b)=t^2 \)

Da cui ricavo che :

\(\displaystyle a=0 , b=0 \)

Ora se però vado a sostituire questi valori trovati nella soluzione particolare iniziale, cioè \(\displaystyle y_{p} \), che valore do alla c ?

[gugo82]

Il problema è che $0$ è soluzione dell'equazione caratteristica.
Vedi qui.

[Elia19991]

Ok allora dovrebbe essere così :
\(\displaystyle y_{p}=t(at^2+bt+c)=at^3+bt^2+ct \)

\(\displaystyle y'_{p}=3at^2+2bt+c \)
\(\displaystyle y''_{p}=6at+2b \)
\(\displaystyle y'''_{p}=6a \)

Quindi sostituendo in \(\displaystyle y_{p} \) si ha :

\(\displaystyle 6a+48at^2+32bt+16c=t^2 \)

Da cui ho il sistema :

\(\displaystyle \begin {cases} 48a=1 \\ 32b=0 \\ 6a+16c=0 \end {cases} \)

Ora è giusto ?
E quindi in definitiva le soluzioni :

\(\displaystyle \begin {cases} a=\frac {1} {48} \\ b=0 \\ c=- \frac {1} {128} \end {cases} \)

Sostituendo infine si ha la soluzione :

\(\displaystyle y_{p}=\frac {1} {48} t^3 - \frac {1} {128} t \)

[pilloeffe]