Equazione differenziale

[Elia19991]

Salve avrei un problema nel determinare la soluzione particolare di questa equazione :

\(\displaystyle y''+3y'+2y=tsen(t)+2e^{-t} \)

Ho risolto l'equazione associata \(\displaystyle r^2 + 3r+2=0 \) e le radici uscite sono \(\displaystyle -2 \) e \(\displaystyle -1 \)
Il problema viene quando devo scrivere la soluzione particolare. Per l'esponenziale so che \(\displaystyle y=2ke^{-t} \) mentre per \(\displaystyle tsen(t) \) dovrebbe essere \(\displaystyle y=cos(t) (at+b) + sen(t) (ct+d) \) per il metodo di somiglianza. Però non riesce, ho ricontrollato i calcoli diverse volte e sono giusti quindi credo che il problema sia nella soluzione particolare che ho scritto per \(\displaystyle tsen(t) \). Qualcuno saprebbe dirmi quale dovrei usare ?

[pilloeffe]

Ciao Elia1999,

L'equazione è lineare del secondo ordine, quindi puoi applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Per l'equazione differenziale con l'esponenziale la soluzione particolare mi risulta $y_{p1}(t) = 2t e^{-t} $; per l'altra mi risulta proprio la forma che hai citato, $y_{p2}(t) = (at+b) cos(t) + (ct+d) sin(t) $, con $a = - 3/10 $, $b = 17/50 $, $c = 1/10 $ e $d = 3/25 $
Pertanto, dato che come hai già capito la soluzione dell'equazione omogenea associata è $y_o(t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-2t} $,
la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:

$y(t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-2t} + 2t e^{-t} -3/10 tcos(t) + 17/50 cos(t) + 1/10 t sin(t) + 3/25 sin(t) $