Equazione differenziale

[bio1998]

Salve a tutti, mi sono imbattuto in questa equazione differenziale:

\( y'=(y^2-1)xln(x), y(1)=1/2 \)

dopo aver separato le variabili ho integrato entrambi i membri ottenendo come risultato:
\( y=tanh({\frac{x^2}{4}}-{\frac{x^2}{2}}ln(x)+c1) \)

ora, supponendo che il risultato ottenuto sia corretto non riesco a ricondurlo nella stessa forma che ho calcolando l'equazione differenziale tramite un programma, tale risultato è :




Qualcuno può aiutarmi?

[dissonance]

Vabbé, ma cosa te ne importa? Usando lo stesso software, calcola \(y' - (y^2-1)x\log x\), dove \(y(x)\) è la funzione che hai trovato. Se trovi \(0\), il risultato è giusto, altrimenti è sbagliato. E basta.

[pilloeffe]

Ciao bio1998,

Ho fatto come ha scritto dissonance con la tua funzione [tex]y(x) = \tanh\bigg({\frac{x^2}{4}}-{\frac{x^2}{2}}\ln(x)+c_1\bigg)[/tex] ed effettivamente mi risulta corretta. Se proprio ci tieni ad ottenere quella riportata dal software (che immagino sia WolframAlpha... ), proverei a scrivere la tua soluzione nella forma seguente:

[tex]\tanh\bigg(\frac{u}{2}\bigg) = \frac{e^{u/2} - e^{-u/2}}{e^{u/2} + e^{-u/2}} = \frac{e^{u} - 1}{e^{u} + 1}[/tex]

ove $u := \frac{x^2}{2} - x^2\ln(x) + 2c_1 = \frac{x^2}{2} - \ln(x^{x^2}) + 2c_1 $

[bio1998]

grazie mille