Equazione differenziale
Salve, non riesco a risolvere questo problema di Cauchy
$ { ( y'=(2y-x)/(y+4x) ),( y(1)=-1):} $
e devo anche determinare l'intervallo massimale di definizione
Metto in evidenza x
$y'=(2y/x-1)/(y/x+4) $
e pongo $y/x=u(x)$ e trovo alla fine $log(y/x+1)-3x/(y+x)=-logx+c$
dato che non ho un'espressione esplicita della soluzione $y(x)$ non so come procedere
$ { ( y'=(2y-x)/(y+4x) ),( y(1)=-1):} $
e devo anche determinare l'intervallo massimale di definizione
Metto in evidenza x
$y'=(2y/x-1)/(y/x+4) $
e pongo $y/x=u(x)$ e trovo alla fine $log(y/x+1)-3x/(y+x)=-logx+c$
dato che non ho un'espressione esplicita della soluzione $y(x)$ non so come procedere
Risposte
Intanto trova il valore di \(c\). Imponi che, per \(x=1\), valga \(y=-1\).
Trovo $0$ sia nell'argomento del logaritmo che al denominatore di $3x/(y+x) $..?
Eh già, decisamente qualcosa non va. Quella relazione che hai trovato non è valida per il problema di Cauchy in esame e quindi è da buttare. Nel fare i conti probabilmente hai trascurato l'annullamento di qualche denominatore, bisogna rivederli con cura.
Okay, inizio mettendo in evidenza x
$ y'=(2y/x-1)/(y/x+4) $, pongo $y/x=u$ quindi $y'= u'x+u$,
$u'x+u=(2u-1)/(u+4)$
$u'x=(2u-1)/(u+4)-u$
$u'x=(2u-1-u^2-4u)/(u+4)=-(u+1)^2/(4+u)$
Procedo per separazione delle variabili:
$[(4+u)/(u+1)^2]u'=-1/x$
integrando ottengo $-3/(1 + u) + log(1 + u)=-logx+c$
Che è la soluzione di prima..Forse bisogna usare un altro metodo
$ y'=(2y/x-1)/(y/x+4) $, pongo $y/x=u$ quindi $y'= u'x+u$,
$u'x+u=(2u-1)/(u+4)$
$u'x=(2u-1)/(u+4)-u$
$u'x=(2u-1-u^2-4u)/(u+4)=-(u+1)^2/(4+u)$
Procedo per separazione delle variabili:
$[(4+u)/(u+1)^2]u'=-1/x$
integrando ottengo $-3/(1 + u) + log(1 + u)=-logx+c$
Che è la soluzione di prima..Forse bisogna usare un altro metodo
"Valchiria":Qui stai dividendo. Hai imposto che il denominatore non si annulli? Infatti, \(u+1=0\) esattamente quando \(y/x=-1\).
Procedo per separazione delle variabili:
$[(4+u)/(u+1)^2]u'=-1/x$
Devo avere $y!=-x$, ma nel problema ho proprio $y=1$ quando $x=-1$
Ma quindi come faccio a trovare una soluzione al problema di Cauchy? La sostituzione $y/x$ non è valida?
Ma quindi come faccio a trovare una soluzione al problema di Cauchy? La sostituzione $y/x$ non è valida?
È molto più semplice di quello che pensi. Prima di dividere, nota che \(u=-1\) è una soluzione...
..Sarebbe l'equilibrio? Quando arrivo qui noto che:
Ed è accettabile perchè per $ { ( y'=(2y-x)/(y+4x) ),( y(1)=-1):} $ basta $y!=-4x$ e io ho $y=-x$
Quindi l'altra soluzione non mi interessa perchè nell'intervallo di definzione non rientra il problema di Cauchy, quindi qui l'intervallo massimale lo prendo quando considero la sostituzione $y/x=u$ e quindi $x!=0$
L'intervallo massimale in cui ho $y(1)=-1$ è perciò $(0,+infty)$ ?
Ha senso?
$ u'x=(2u-1-u^2-4u)/(u+4)=-(u+1)^2/(4+u) $
ciò che rende $u'=0$ è proprio $u=-1$
Ed è accettabile perchè per $ { ( y'=(2y-x)/(y+4x) ),( y(1)=-1):} $ basta $y!=-4x$ e io ho $y=-x$
Quindi l'altra soluzione non mi interessa perchè nell'intervallo di definzione non rientra il problema di Cauchy, quindi qui l'intervallo massimale lo prendo quando considero la sostituzione $y/x=u$ e quindi $x!=0$
L'intervallo massimale in cui ho $y(1)=-1$ è perciò $(0,+infty)$ ?
Ha senso?
Si, è corretto, in realtà non occorrerebbero tante parole. Hai trovato una soluzione, ed essa deve essere unica per il teorema di unicità. Basta così. Certo, sull'intervallo massimale hai ragione a richiedere $x >0$ perché altrimenti si annulla un denominatore nell'equazione.
Ok, grazie mille
Riprendo questo post perchè ho un problema simile. Mi si chiede di calcolare l'equazione generale dell'equazione $y'(x)=(2y(x)-x)/(2x-y(x))$. Io arrivo a dimostrare che $(y-x)/(y+x)^3=e^(2c)$ ma non riesco ad esplicitare la $y$: è in questo caso che devo usare il metodo mostrato sopra?
Per cui dovrei:
1) imporre le condizioni di esistenza dell'equazione (nel caso di specie è $y!=2x$)
2) verificare per quali valori si annulla $z'$ (nel caso di specie, quando arrivo a scrivere che $ xz'=(2z-1)/(2-z)-z=(z^2-1)/(2-z)$ osservo che $z'=0$ per $z=1$, ovvero per $y=x$)
3) confrontare se il valore che annulla $z'$ è diverso dalla condizione iniziale: se così è, quella è l'unica soluzione dell'equazione (nel caso di specie, dato che $y!=2x$ ma io ho $y=x$, allora $y=x$ è soluzione dell'equazione).
Per cui dovrei:
1) imporre le condizioni di esistenza dell'equazione (nel caso di specie è $y!=2x$)
2) verificare per quali valori si annulla $z'$ (nel caso di specie, quando arrivo a scrivere che $ xz'=(2z-1)/(2-z)-z=(z^2-1)/(2-z)$ osservo che $z'=0$ per $z=1$, ovvero per $y=x$)
3) confrontare se il valore che annulla $z'$ è diverso dalla condizione iniziale: se così è, quella è l'unica soluzione dell'equazione (nel caso di specie, dato che $y!=2x$ ma io ho $y=x$, allora $y=x$ è soluzione dell'equazione).
Non ho esattamente capito qual è il tuo problema, il mio dubbio era il fatto che la soluzione trovata sostituendo $u(x)=y/x$ aveva come condizione di esistenza $y!=-x$, che era proprio la richiesta del pdC, ovvero $y(1)=-1$.
Ciò è derivato dal fatto che facendo la sostituzione $u(x)=y/x$ non ho tenuto conto che avrei ottenuto un'equazione differenziale a variabili separabili di cui bisogna valutare anche gli equilibri, cioè le soluzioni per cui $u'=0$. Io avevo $u'=-(u+1)^2/((4+u)x)$, la soluzione costante è proprio $u=-1$ che soddisfa il pdC richiesto.
Ciò è derivato dal fatto che facendo la sostituzione $u(x)=y/x$ non ho tenuto conto che avrei ottenuto un'equazione differenziale a variabili separabili di cui bisogna valutare anche gli equilibri, cioè le soluzioni per cui $u'=0$. Io avevo $u'=-(u+1)^2/((4+u)x)$, la soluzione costante è proprio $u=-1$ che soddisfa il pdC richiesto.
"mobley":
Mi si chiede di calcolare l'[strike]equazione[/strike] integrale generale dell'equazione $y'(x)=(2y(x)-x)/(2x-y(x))$. Io arrivo a dimostrare che $(y-x)/(y+x)^3=e^(2c)$ ma non riesco ad esplicitare la $y$ [...]
Di integrali generali in forma implicita ne è piena la terra...
"gugo82":
Di integrali generali in forma implicita ne è piena la terra...
Quindi posso terminare lasciando $(y-x)/(y+x)^3=e^(2c)$?
Dipende... Se hai delle condizioni, imponile anche in forma implicita e determina la costante.
Poi, chiediti se si può applicare qualche teorema (Funzione Implicita? Dini? ...) per dire qualcosa sulla soluzione. Se no, desisti.
Poi, chiediti se si può applicare qualche teorema (Funzione Implicita? Dini? ...) per dire qualcosa sulla soluzione. Se no, desisti.
Ok grazie!
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