Equazione differenziale
Salve.
Che tipo di equazione differenziale è la seguente, e che strategia posso applicare per risolverla?
xy'+y=ln(y')
Grazie in anticipo per le risposte
Che tipo di equazione differenziale è la seguente, e che strategia posso applicare per risolverla?
xy'+y=ln(y')
Grazie in anticipo per le risposte
Risposte
"Pel10":
Salve.
Che tipo di equazione differenziale è la seguente, e che strategia posso applicare per risolverla?
xy'+y=ln(y')
Grazie in anticipo per le risposte
È una EDO di Clairaut.
Esiste una tecnica apposita per determinare le soluzioni.
Dove trovo una buona guida che illustri la tecnica risolutiva?
Aspetta, però... Sei sicuro dei segni?
Perché altrimenti il trucco di Clairaut non funziona!
Perché altrimenti il trucco di Clairaut non funziona!
Ciao Pel10,
In Rete trovi diverso materiale, ad esempio:
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Clairault
http://www-dimat.unipv.it/vitali/AM3/dispensa_prel_eq_diff-ottobre2011.pdf
Osserverei però che l'equazione differenziale proposta non è nella forma standard di Clairaut, ma il primo membro è la derivata di $ xy $
In Rete trovi diverso materiale, ad esempio:
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Clairault
http://www-dimat.unipv.it/vitali/AM3/dispensa_prel_eq_diff-ottobre2011.pdf
Osserverei però che l'equazione differenziale proposta non è nella forma standard di Clairaut, ma il primo membro è la derivata di $ xy $
Infatti... Soffermandomi sulla nonlinearità in $y’$, ieri non ho guardato con attenzione il resto.
L’equazione è imparentata con l’equazione di Clairaut, ma non è di quel tipo lì. Essa ricade nella categoria più generale delle equazioni di d’Alembert-Lagrange, ossia è del tipo:
\[
y(x) = x\ f(y^\prime (x)) + g(y^\prime (x))\; ,
\]
in cui $f$ e $g$ sono funzioni assegnate è sufficientemente regolari.
Nel caso in esame, $f(y’) = -y’$ e $g(y’) = log y’$.
L’insieme di definizione della EDO è $RR^2 xx]0,+oo[$, quindi le soluzioni hanno tutte la derivata prima positiva e perciò sono strettamente crescenti nel proprio intervallo di definizione.
Ciò che si fa di solito per questo tipo di equazioni è cercarne le soluzioni in forma parametrica, cioè cercare di determinare le curve integrali del problema.
Tecnicamente, ciò si fa prendendo come parametro $t$ l’inclinazione della tangente alla curva rispetto al semiasse $x$ positivo, cioè richiedendo che la parametrizzazione $x=x(t), y=y(t)$ soddisfi la condizione \(\dot{y}(t) = t\ \dot{x}(t)\), la quale in coordinate cartesiane equivale a $y’= t$.[nota]Un modo brutale di rendersi conto di questa uguaglianza è usare rozzamente i simboli di differenziale:
\[
y^\prime = \frac{\text{d} y}{\text{d} x} = \frac{\text{d} y}{\text{d} t} \cdot \frac{\text{d} t}{\text{d} x} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}}\;.
\][/nota]
Sostituendo tutto nella EDO, il problema diventa:
\[
x(t)\ t + y(t) = \log t
\]
nella variabile $t>0$ e nelle incognite $x(t)$ ed $y(t)$.
Supponendo, come di solito si fa, che le due funzioni incognite siano almeno di classe $C^1$, possiamo derivare membro a membro la EDO rispetto a $t$ ottenendo:
\[
t\ \dot{x}(t) + x(t) + \dot{y}(t) = 1/t
\]
e, tenendo presente la relazione tra le derivate di $x$ ed $y$, si ha:
\[
2t\ \dot{x}(t) + x(t) = 1/t
\]
che è una EDO lineare completa del primo ordine e consente di determinare $x(t; C_1)$ ($C_1$ è una costante di integrazione).
Inoltre, ricavando $dot(x)(t)$ dalla precedente e sostituendo in $dot(y)(t) = t dot(x)(t)$ si ottiene una EDO lineare completa del primo ordine e si può determinare anche $y(t;C_2)$ ($C_2$ è una costante di integrazione).
Dunque, si ottiene la curva integrale di equazioni parametriche:
\[
\begin{cases}
x=x(t;C_1)\\
y=y(t;C_2)
\end{cases}
\]
che, se può essere esplicitata eliminando il parametro $t$ fornisce l’equazione implicita della curva integrale; se tale equazione può essere a sua volta esplicitata rispetto ad $y$ si ottiene l’espressione elementare delle soluzioni della EDO.
L’equazione è imparentata con l’equazione di Clairaut, ma non è di quel tipo lì. Essa ricade nella categoria più generale delle equazioni di d’Alembert-Lagrange, ossia è del tipo:
\[
y(x) = x\ f(y^\prime (x)) + g(y^\prime (x))\; ,
\]
in cui $f$ e $g$ sono funzioni assegnate è sufficientemente regolari.
Nel caso in esame, $f(y’) = -y’$ e $g(y’) = log y’$.
L’insieme di definizione della EDO è $RR^2 xx]0,+oo[$, quindi le soluzioni hanno tutte la derivata prima positiva e perciò sono strettamente crescenti nel proprio intervallo di definizione.
Ciò che si fa di solito per questo tipo di equazioni è cercarne le soluzioni in forma parametrica, cioè cercare di determinare le curve integrali del problema.
Tecnicamente, ciò si fa prendendo come parametro $t$ l’inclinazione della tangente alla curva rispetto al semiasse $x$ positivo, cioè richiedendo che la parametrizzazione $x=x(t), y=y(t)$ soddisfi la condizione \(\dot{y}(t) = t\ \dot{x}(t)\), la quale in coordinate cartesiane equivale a $y’= t$.[nota]Un modo brutale di rendersi conto di questa uguaglianza è usare rozzamente i simboli di differenziale:
\[
y^\prime = \frac{\text{d} y}{\text{d} x} = \frac{\text{d} y}{\text{d} t} \cdot \frac{\text{d} t}{\text{d} x} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}}\;.
\][/nota]
Sostituendo tutto nella EDO, il problema diventa:
\[
x(t)\ t + y(t) = \log t
\]
nella variabile $t>0$ e nelle incognite $x(t)$ ed $y(t)$.
Supponendo, come di solito si fa, che le due funzioni incognite siano almeno di classe $C^1$, possiamo derivare membro a membro la EDO rispetto a $t$ ottenendo:
\[
t\ \dot{x}(t) + x(t) + \dot{y}(t) = 1/t
\]
e, tenendo presente la relazione tra le derivate di $x$ ed $y$, si ha:
\[
2t\ \dot{x}(t) + x(t) = 1/t
\]
che è una EDO lineare completa del primo ordine e consente di determinare $x(t; C_1)$ ($C_1$ è una costante di integrazione).
Inoltre, ricavando $dot(x)(t)$ dalla precedente e sostituendo in $dot(y)(t) = t dot(x)(t)$ si ottiene una EDO lineare completa del primo ordine e si può determinare anche $y(t;C_2)$ ($C_2$ è una costante di integrazione).
Dunque, si ottiene la curva integrale di equazioni parametriche:
\[
\begin{cases}
x=x(t;C_1)\\
y=y(t;C_2)
\end{cases}
\]
che, se può essere esplicitata eliminando il parametro $t$ fornisce l’equazione implicita della curva integrale; se tale equazione può essere a sua volta esplicitata rispetto ad $y$ si ottiene l’espressione elementare delle soluzioni della EDO.
Grazie per le risposte.
Sì, ho riportato i segni nella maniera corretta
Sì, ho riportato i segni nella maniera corretta
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