Equazione differenziale
Buona sera, ho un problema con questa equazione, se qualcuno mi può aiutare mi fa un favore.
{ $y'(x) + x^3y^3(x) + x^3y(x)=0$
{ $y(0)=1$
Scrivo fino a dove sono arrivato io:
{ $y'(x)= -x^3(y^3(x) + y(x))$
da cui $-\int\frac{1}{y^3 + y} dy = \int x^3 dx$
ho che $-\int\frac{1}{y(y^2 +1)} dy= -\int\frac{1}{y} dy -\int\frac{1}{1 + y^2} dy$
quindi $ -log|y| - arctan y= \frac{x^4}{4} +c $
Adesso dovrei esplicitare y ed imporre la condizione iniziale, ed il problema ce l'ho proprio nel esplicitare y, ce quel arctan che mi da fastidio come dovrei fare?
{ $y'(x) + x^3y^3(x) + x^3y(x)=0$
{ $y(0)=1$
Scrivo fino a dove sono arrivato io:
{ $y'(x)= -x^3(y^3(x) + y(x))$
da cui $-\int\frac{1}{y^3 + y} dy = \int x^3 dx$
ho che $-\int\frac{1}{y(y^2 +1)} dy= -\int\frac{1}{y} dy -\int\frac{1}{1 + y^2} dy$
quindi $ -log|y| - arctan y= \frac{x^4}{4} +c $
Adesso dovrei esplicitare y ed imporre la condizione iniziale, ed il problema ce l'ho proprio nel esplicitare y, ce quel arctan che mi da fastidio come dovrei fare?
Risposte
Ciao Jhonny777,
Non è corretta la scomposizione in fratti semplici dell'integrale in $y $, infatti si ha:
$int frac{dy}{y(y^2 + 1)} = int (1/y - frac{y}{y^2 + 1})dy = int frac{dy}{y} - 1/2 int frac{2y}{y^2 + 1} dy = ln|y| - 1/2 ln(y^2 + 1) + c $
Non è corretta la scomposizione in fratti semplici dell'integrale in $y $, infatti si ha:
$int frac{dy}{y(y^2 + 1)} = int (1/y - frac{y}{y^2 + 1})dy = int frac{dy}{y} - 1/2 int frac{2y}{y^2 + 1} dy = ln|y| - 1/2 ln(y^2 + 1) + c $
Ahhhh gia che scemo ahah. grazie mille 
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