Equazione differenziale

[brownbetty1]

Salve a tutti

ho la seguente equazione differenziale
$(v_text{in}(t))/R = -C(dv_u(t))/dt - (v_u(t))/R_F$
e devo calcolare l'espressione di $v_u$ per un ingresso $v_text{in}(t)$ che vale 1 se $0<=t<=1$ e 0 per $t>=1$. La condizione iniziale sul condensatore è $v_u(0)=0$.

Integrando ambo i membri giungo all'equazione
$v_u=-1/(RC)int_(0)^(t) v_text{in}(t) dt -1/(R_FC)int_(0)^(t) v_u(t) dt$
però poi non so come continuare.

Potreste aiutarmi ? Grazie!

[seb1]

Mi rendo ora conto che \(v_{in}\) è costante in entrambi gli intervalli in cui è definita. Ciò rende superfluo il mio post precedente (che ho dunque cancellato). Essendo\[v_{in}=\begin{cases}1,\>t\in[0,1]\\0,\>t>1\end{cases}\]è sufficiente distinguere due casi. Il secondo porge un'equazione differenziale omogenea a variabili separabili; il primo equivalentemente a seguito di una semplice sostituzione.

[brownbetty1]

Grazie seb! Sono un po' arrugginito di eq. differenziali, peró prossimamente proveró a calcolarla seguendo tuo consiglio

[brownbetty1]

Ho risolto il caso per $t>1$, trovando $v_u=e^(-t/(C(R_F)))e^k$ ma non so come trovare il valore $k$. Immagino che tale $k$ vada calcolato usando $v_u(1)$ ricavando $v_u(t)$ per $0<= t <=1$. Nel caso $0<= t<= 1$ quale sostituzione dovrei fare ?

Grazie mille

[seb1]

Prendendo il caso un attimo più generale \(y'+\alpha y=k\) con \(k\in\mathbb{R}\) ed escluso il caso banale \(\alpha=0\), definito \(\alpha y-k=z\implies\alpha y'=z'\), si ottiene \(\frac{z'}{\alpha}+z=0\) che è ora omogenea e formalmente identica al caso \(t>1\) e perciò ti è sufficiente la risoluzione di una sola delle due equazioni differenziali.

[brownbetty1]

Ho provato ad usare la tua sostituzione, però, quando risolvo l'eq. diff. in $z$ ottengo alla fine $|z(t)|=e^(...)$, dove la $t$ è proprio quella di $v_text{in}$. Come faccio a togliere questo valore assoluto non sapendo a priori che segno assume $v_u$ e quindi $z(t)$ ? In effetti, anche nell'altro tratto di eq. diff. che avevo scritto ieri, mi sarei dovuto porre il problema del segno di $v_u$. Avendo sbirciato la soluzione, so che il segno di $v_u$ alla fine è negativo per $t>=0$, ma come fare a provarlo durante la risoluzione per togliere questi valori assoluti derivanti dai logaritmi ?

Ti ringrazio

[seb1]

Il valore assoluto puoi levarlo semplicemente espandendolo: \(|v_u|=e^k\exp{\left(-\frac{t}{C\cdot R_F}\right)}\implies v_u=\pm e^k\exp{\left(-\frac{t}{C\cdot R_F}\right)}\). Dal momento che \(e^k>0,\>\forall k\in\mathbb{R}\), \(\pm e^k\) rappresenta un qualsiasi valore \(\mathbb{R}\ni\alpha\neq0\). Considerando poi la soluzione stazionaria che abbiamo escluso imponendo \(v_u\neq0\) al fine di separare le variabili si prende pure l'eventualità per cui \(\alpha\) si annulli, ottenendo \(v_u=\alpha\exp{\left(-\frac{t}{C\cdot R_F}\right)},\>\alpha\in\mathbb{R}\). Equivalentemente per \(z\).