Equazione Differenziale
Al corso di analisi abbiamo svolto quest'equazione:
$ x''(t)=-x(t)+cos(beta t) $
Partiamo calcolando l'integrale generale $ alpha ^2+1=0 $ , $ alpha_(1,2)=+-i $ , siccome le radici sono negative (?), questo risulta essere:
$ x(t)=c_1cos(betat)+c_2sin(betat) $
Calcolo la derivata seconda:
$ x'(t)=-c_1betasin(betat)+c_2betacos(betat) $
$ x''(t)=-c_1beta^2cos(betat)-c_2beta^2sin(betat) $
Adesso sostituisco nell'equzione di partenza, la soluzione generale $ x(t) $, e la sua derivata seconda $ x''(t) $
raccolgo $c_1$ e $c_2$, e ora succede qualcosa che non riesco a spiegarmi
$c_1cos(betat)(-beta^2+1) +c_2sin(betat)(-beta^2+1)=cos(betat) $ viene posto $c_2=0$, e semplificato il coseno ad ambo i membri, per cui risulta $c_1=1/(-beta^2+1)$ e $c_2=0$ con $beta!=+-1$
La spiegazione si è fermata qui; inoltre ad inzio esercizio era stata fatta una considerazione che spero di riportare in maniera corretta
$ h(t)=cos(betat) $
$ h(t)= e^(at)(q(t)cos(betat)+l(t)sin(betat))$
$ { ( a=0 ),( l(t)=0 ),( q(t)=1 ):} $
Allora mi chiedo è possibile che $c_2$ sia stato cancellato perché $c_2=l(t)$? Perché non fare lo stesso con $c_1$? Infine se questi valori ottenuti vadano integrati, perché ho visto video in cui alla fine bisognava operare un'integrazione.
$ x''(t)=-x(t)+cos(beta t) $
Partiamo calcolando l'integrale generale $ alpha ^2+1=0 $ , $ alpha_(1,2)=+-i $ , siccome le radici sono negative (?), questo risulta essere:
$ x(t)=c_1cos(betat)+c_2sin(betat) $
Calcolo la derivata seconda:
$ x'(t)=-c_1betasin(betat)+c_2betacos(betat) $
$ x''(t)=-c_1beta^2cos(betat)-c_2beta^2sin(betat) $
Adesso sostituisco nell'equzione di partenza, la soluzione generale $ x(t) $, e la sua derivata seconda $ x''(t) $
raccolgo $c_1$ e $c_2$, e ora succede qualcosa che non riesco a spiegarmi
$c_1cos(betat)(-beta^2+1) +c_2sin(betat)(-beta^2+1)=cos(betat) $ viene posto $c_2=0$, e semplificato il coseno ad ambo i membri, per cui risulta $c_1=1/(-beta^2+1)$ e $c_2=0$ con $beta!=+-1$
La spiegazione si è fermata qui; inoltre ad inzio esercizio era stata fatta una considerazione che spero di riportare in maniera corretta
$ h(t)=cos(betat) $
$ h(t)= e^(at)(q(t)cos(betat)+l(t)sin(betat))$
$ { ( a=0 ),( l(t)=0 ),( q(t)=1 ):} $
Allora mi chiedo è possibile che $c_2$ sia stato cancellato perché $c_2=l(t)$? Perché non fare lo stesso con $c_1$? Infine se questi valori ottenuti vadano integrati, perché ho visto video in cui alla fine bisognava operare un'integrazione.
Risposte
Detto in maniera assai sbrigativa, quando ti ritrovi \(c_1(1-\beta^2)\cos{(\beta t)}+c_2(1-\beta^2)\sin{(\beta t)}=\cos{(\beta t)}\) è come se fosse scritto \(c_1(1-\beta^2)\cos{(\beta t)}+c_2(1-\beta^2)\sin{(\beta t)}=1\cdot\cos{(\beta t)}+0\cdot\sin{(\beta t)}\) e ora confronti i termini simili\[
\begin{cases}
c_1(1-\beta^2)\cos{(\beta t)}=\cos{(\beta t)}\\
c_2(1-\beta^2)\sin{(\beta t)}=0
\end{cases}\implies
\begin{cases}
c_1(1-\beta^2)=1\\
c_2(1-\beta^2)=0
\end{cases}\]Naturalmente \(\sin{(\beta t)}\) e \(\cos{(\beta t)}\) non nulli.
\begin{cases}
c_1(1-\beta^2)\cos{(\beta t)}=\cos{(\beta t)}\\
c_2(1-\beta^2)\sin{(\beta t)}=0
\end{cases}\implies
\begin{cases}
c_1(1-\beta^2)=1\\
c_2(1-\beta^2)=0
\end{cases}\]Naturalmente \(\sin{(\beta t)}\) e \(\cos{(\beta t)}\) non nulli.
Perfetto, era più semplice di quel che credessi.
per cui la soluzione dell'equazione si ottiene sostituendo $c_1$ e $c_2$, appena ricavate dal sistema, in $x(t)$ ?
per cui la soluzione dell'equazione si ottiene sostituendo $c_1$ e $c_2$, appena ricavate dal sistema, in $x(t)$ ?
Non "la soluzione", ma "una soluzione dell'equazione". Poi ti rimangono da affrontare i casi per cui \(\beta^2=1\).
per $beta^2=1$ non potrei avere soluzioni, no?
Se \(\beta\) ad esempio valesse \(1\) l'equazione differenziale si riduce a \(x''(t)+x(t)=\cos{t}\): perché questa non dovrebbe avere soluzioni? No, tu dici: se \(\beta^2\neq1\) la mia equazione differenziale ha questa soluzione, se \(\beta=\pm1\) ha queste altre soluzioni. La condizione \(\beta^2\neq1\) deriva proprio dalla parte iniziale in cui, dopo aver stabilito le radici del polinomio caratteristico, cerchi la soluzione particolare tra \(x(t)=c_1\cos{(\beta t)}+c_2\sin{(\beta t)}\) ed escludi la possibilità di trovarla tra \(x(t)=t[c_1\cos{(\beta t)}+c_2\sin{(\beta t)}]\).
okay, ho capito. Ti ringrazio seb.
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