Equazione differenziale

[Enrico301]

Salve a tutti.
Ho davanti questa equazione differenziale: $ y'=-(2y)/x+3x $
La prima cosa che mi è venuta in mente è quella di risolverla attraverso una separazione di variabili ma non riesco a capire appunto come separarle.
Potete spiegarmi come fare? Grazie mille.

[ciampax]

E' una equazione lineare del primo ordine, non a variabili separabili. La sua scrittura in forma normale è la seguente
$$y'+\frac{2}{x} y=3x$$
Per risolverla puoi riscriverla come
$$x y'+2y=3x^2$$
e notare che, moltiplicando tutto per $x$ si ha
$$x^2 y'+2x y=3x^2$$
ed il primo membro risulta uguale alla derivata del prodotto $x^2 y$ da cui
$$(x^2 y)'=3x^2$$
A questo punto, integrando ambo i membri si ottiene
$$x^2 y=x^3+c$$
da cui la soluzione generale
$$y=\frac{x^3+c}{x^2}$$

[seb1]

"ciampax":moltiplicando tutto per $x$ si ha $$x^2 y'+2x y=3x^2$$

È chiaro che ciampax s'è solamente scordato di moltiplicare per \(x\) pure il termine a destra dell'uguaglianza.

[Enrico301]

Grazie mille ragazzi!