Equazione differenziale
$ddot x$ + $ h/m dot x = F/m$
ho questa equazione differenziale non riesco ad arrivare alla soluzione
pongo $ dot x =Y$
per averla sotto questa forma $ dot Y + p(x) Y = q(x)$
la soluzione finale è così
$x(t) = (m/h) ( dot x(0) - F/h) (1-e^(-h/m t)) + F/h t + x(0)$
ma non arrivo alla soluzione
ho questa equazione differenziale non riesco ad arrivare alla soluzione
pongo $ dot x =Y$
per averla sotto questa forma $ dot Y + p(x) Y = q(x)$
la soluzione finale è così
$x(t) = (m/h) ( dot x(0) - F/h) (1-e^(-h/m t)) + F/h t + x(0)$
ma non arrivo alla soluzione
Risposte
vedo che ti hanno risposto fino in fondo quindi tolgo il messaggio
Poniamo [tex]a = \frac{h}{m}, \ b = \frac{F}{m}, \ \dot x = y[/tex] per comodità. L'equazione differenziale
$$ \dot y + a y = b \qquad \clubsuit$$
si può risolvere risolvendo prima l'omogenea associata, ovvero:
$$ \dot y + a y = 0 \qquad \spadesuit$$
Risolviamo [tex]\spadesuit[/tex] per separazione di variabili:
$$ \int \frac{\dot y}{y} \ \text {d} t =- \int a \ \text{d}{t} \implies \ln y = -at + k_1 \implies y = e^{-at + k_1} $$
Si vede subito che una soluzione particolare di [tex]\clubsuit[/tex] è:
$$ \bar y (t) = \frac{b}{a}$$
Quindi:
$$ y(t) = y_{\spadesuit} + \bar y = e^{-at + k_1} + \frac{b}{a} $$
Essendo $ \dot x = y$:
$$ \dot x = e^{-at + k_1} + \frac{b}{a} $$
Risolvendo:
$$ \int \dot x \ \text{d} t = \int \left (e^{-at + k_1} + \frac{b}{a} \right ) \ \text{d} t \implies x (t) = -\frac{1}{a} e^{-at + k_1} + \frac{b}{a} t + k_2 $$
Notando inoltre che:
$$ e^{k_1} = \dot x(0) - \frac{b}{a}, \ k_2 = x(0) + \frac{1}{a} \left (\dot x(0) - \frac{b}{a} \right)$$
e risostituendo, ottieni la soluzione cercata.
$$ \dot y + a y = b \qquad \clubsuit$$
si può risolvere risolvendo prima l'omogenea associata, ovvero:
$$ \dot y + a y = 0 \qquad \spadesuit$$
Risolviamo [tex]\spadesuit[/tex] per separazione di variabili:
$$ \int \frac{\dot y}{y} \ \text {d} t =- \int a \ \text{d}{t} \implies \ln y = -at + k_1 \implies y = e^{-at + k_1} $$
Si vede subito che una soluzione particolare di [tex]\clubsuit[/tex] è:
$$ \bar y (t) = \frac{b}{a}$$
Quindi:
$$ y(t) = y_{\spadesuit} + \bar y = e^{-at + k_1} + \frac{b}{a} $$
Essendo $ \dot x = y$:
$$ \dot x = e^{-at + k_1} + \frac{b}{a} $$
Risolvendo:
$$ \int \dot x \ \text{d} t = \int \left (e^{-at + k_1} + \frac{b}{a} \right ) \ \text{d} t \implies x (t) = -\frac{1}{a} e^{-at + k_1} + \frac{b}{a} t + k_2 $$
Notando inoltre che:
$$ e^{k_1} = \dot x(0) - \frac{b}{a}, \ k_2 = x(0) + \frac{1}{a} \left (\dot x(0) - \frac{b}{a} \right)$$
e risostituendo, ottieni la soluzione cercata.
grazie tante per la risposta 
volevo chiederti
$ dot Y + a Y = b$
posso anche scriverla come soluzione della equazione lineare non omogenea a coefficienti costanti cioè:
$Y= b/a + k_1 e^(at)$
questa integrandola ottengo:
$x(t) = m/h (dot x(0) -F/h) (1-e ^(-h/m t)) + F/h t + x(0)$
la prima costante $k_1 = (dot x(0) - b/a)$ è uguale anche perché ricavata dalle medesima condizione, la seconda costante
$k_2$ che ottengo integrando $Y(t)$
la pongo
$k_2= x(0)$ (questo lo dico solo perché non mi tornerebbe la soluzione...)
può andare ance cosi?
volevo chiederti
$ dot Y + a Y = b$
posso anche scriverla come soluzione della equazione lineare non omogenea a coefficienti costanti cioè:
$Y= b/a + k_1 e^(at)$
questa integrandola ottengo:
$x(t) = m/h (dot x(0) -F/h) (1-e ^(-h/m t)) + F/h t + x(0)$
la prima costante $k_1 = (dot x(0) - b/a)$ è uguale anche perché ricavata dalle medesima condizione, la seconda costante
$k_2$ che ottengo integrando $Y(t)$
la pongo
$k_2= x(0)$ (questo lo dico solo perché non mi tornerebbe la soluzione...)
può andare ance cosi?
"xnix":
grazie tante per la risposta
volevo chiederti
$ dot Y + a Y = b$
posso anche scriverla come soluzione della equazione lineare non omogenea a coefficienti costanti cioè:
$Y= b/a + k_1 e^(at)$
questa integrandola ottengo:
$x(t) = m/h (dot x(0) -F/h) (1-e ^(-h/m t)) + F/h t + x(0)$
la prima costante $k_1 = (dot x(0) - b/a)$ è uguale anche perché ricavata dalle medesima condizione, la seconda costante
$k_2$ che ottengo integrando $Y(t)$
la pongo
$k_2= x(0)$ (questo lo dico solo perché non mi tornerebbe la soluzione...)
può andare ance cosi?
Direi di sì. L'utilizzo della soluzione particolare non è obbligatorio; questione di gusti, in casi come questo. In altri, può semplificare di molto la risoluzione.
grazie ancora!!
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