Equazione differenziale
ciao ragazzi, sto studiando le equazioni differenziali e mi sono imbatto in un esercizio che non so risolvere. Esso è il seguente:
$ { ( y'=(6y^(2/3)cosx)/(1+2sinx) ),( y(pi/2)=ln^3 3):} $ allora qual'è il valore in $ y(0)$ ?
effettuando tutti i calcoli (sperando che siano corretti) ho ottenuto questo risultato
$ { ( y=(ln3)^(1/3) ),( y(pi/2)=ln^3 3):} $
da qui in poi non so più come muovermi sapreste darmi una mano? grazie anticipatamente
$ { ( y'=(6y^(2/3)cosx)/(1+2sinx) ),( y(pi/2)=ln^3 3):} $ allora qual'è il valore in $ y(0)$ ?
effettuando tutti i calcoli (sperando che siano corretti) ho ottenuto questo risultato
$ { ( y=(ln3)^(1/3) ),( y(pi/2)=ln^3 3):} $
da qui in poi non so più come muovermi sapreste darmi una mano? grazie anticipatamente
Risposte
Quali sono i calcoli?
Per inciso, non mi paiono tanto corretti...
Per inciso, non mi paiono tanto corretti...
Ho rivisto i calcoli più attentamente e spero che il risultato sia il seguente.
$ int (dy)/y^(2/3)=6intcosx/(1+2sinx) dx $
ho posto u=1+2sinx
$ 3y^(1/3)=3 int 1/u du$
$ y^(1/3)=ln(1+2sinx) $
$ int (dy)/y^(2/3)=6intcosx/(1+2sinx) dx $
ho posto u=1+2sinx
$ 3y^(1/3)=3 int 1/u du$
$ y^(1/3)=ln(1+2sinx) $
Ciao ale 
[ot]so che siamo matematici/fisici/ingegnieri/etc ma... [size=200]qual è[/size][/ot]
Dopo aver identificato l'equazione a variabili separabili, possiamo procedere.
Intanto per forza di cose stabiliamo il dominio dell'equazione differenziale.
[ot]so che siamo matematici/fisici/ingegnieri/etc ma... [size=200]qual è[/size][/ot]
Dopo aver identificato l'equazione a variabili separabili, possiamo procedere.
Intanto per forza di cose stabiliamo il dominio dell'equazione differenziale.
In questo tipo di problemi (di Cauchy con EDO a variabili separabili) non fa mai male farsi un'idea delle proprietà delle soluzioni che discendono direttamente dalla EDO.
Nel nostro caso, la funzione a secondo membro, cioè:
\[
f(x,y) := \frac{6\ \cos x}{1+2\ \sin x}\ y^{2/3}
\]
è definita continua in $\RR xx \RR$ e localmente lipschitziana rispetto alla seconda variabile (poiché di classe $C^oo$) in $(\RR xx ]0,+oo[) uu (\RR xx ]-oo,0[)$; ciò implica che la soluzione del PdC associato alla EDO è unica intorno a $x_0$ non appena il punto iniziale $(x_0,y_0)$ ha $y_0\ne 0$.
Dato che nel caso in esame $y_0=\ln^3 3\ne 0$, la soluzione del PdC è unica intorno a $x_0=pi/2$.
Inoltre, data la regolarità di $f$, la soluzione è di classe $C^oo$ fintantoché essa non assume il valore $0$.
Dato che $f$ è positiva in ogni striscia verticale del tipo:
\[
]-\pi/2 + 2k\pi , \pi/2 +2k\pi[\times \mathbb{R}\qquad \text{, con } k\in \mathbb{Z}
\]
negativa su ogni striscia del tipo:
\[
]\pi/2 + 2k\pi , 3\pi/2 +2k\pi[\times \mathbb{R}\qquad \text{, con } k\in \mathbb{Z}
\]
e nulla sui punti del bordo di tali striscie, ne deduciamo che il punto iniziale del PdC assegnato $(pi/2, \ln^3 3)$ è un punto di massimo locale per la soluzione del PdC.
La EDO ha una unica soluzione stazionaria, cioè $y^*(x):=0$, lungo la quale si perde unicità della soluzione; da ciò segue che, in generale, i grafici delle altre soluzioni della EDO (e, dunque, anche quello della soluzione del PdC assegnato) potrebbero intersecare quello della soluzione stazionaria.
Per quanto riguarda la risoluzione del PdC, notiamo che intorno a $x_0=pi/2$ si ha certamente (per continuità e permanenza del segno) $y(x)\ne 0$; dunque, a patto di restringere le considerazioni ad un opportuno intorno di $pi/2$, possiamo dividere m.a.m. la EDO per $y^(2/3)(x)$ ed ottenere l'uguaglianza:
\[
y^{-2/3}(x)\ y^\prime (x) = \frac{6\ \cos x}{1+2\ \sin x}
\]
valida intorno a $pi/2$; passando alle funzioni integrali con punto iniziale in $pi/2$, dalla precedente segue:
\[
\int_{\pi/2}^x y^{-2/3}(t)\ y^\prime (t)\ \text{d} t = \int_{\pi/2}^x \frac{6\ \cos t}{1+2\ \sin t}\ \text{d} t\; .
\]
La formula di integrazione per sostituzione consente di calcolare l'integrale al primo membro con la sostituzione \(\tau = y(t)\): tenendo presente la condizione $y(pi/2) = \ln^3 3$, il primo membro diventa:
\[
\begin{split}
\int_{\pi/2}^x y^{-2/3}(t)\ y^\prime (t)\ \text{d} t &\stackrel{\tau = y(t)}{=} \int_{y(\pi/2)}^{y(x)} \tau^{-2/3}\ \text{d} \tau\\
&= \int_{\ln^3 3}^{y(x)} \tau^{-2/3}\ \text{d} \tau\\
&= \left[ 3\ \tau^{1/3}\right]_{\ln^3 3}^{y(x)}\\
&= 3\ y^{1/3} (x) - 3\ \ln 3\; .
\end{split}
\]
D'altro canto, l'integrale al secondo membro è immediatamente calcolabile:
\[
\begin{split}
\int_{\pi/2}^x \frac{6\ \cos t}{1+2\ \sin t}\ \text{d} t &= \left[ 3\ \ln |1+2\ \sin t|\right]_{\pi/2}^x \\
&= 3\ \ln |1+2\ \sin x| - 3\ \ln 3
\end{split}
\]
dunque la soluzione del PdC è data da:
\[
3\ y^{1/3} (x) - 3\ \ln 3 = 3\ \ln |1+2\ \sin x| - 3\ \ln 3
\]
ossia:
\[
y(x) = \ln^3 |1+2\ \sin x|
\]
e tale espressione analitica vale nel più grande intorno di $x_0=pi/2$ in cui essa è definita e derivabile nonché diversa da zero, i.e. in $I:= ]0, pi[$.
Notiamo che in $I$ l'argomento del valore assoluto è positivo, dunque l'espressione di $y(x)$ si può riscrivere eliminando il valore assoluto:
\[
y(x) = \ln^3 (1+2\ \sin x)\;.
\]
Cosa succede in $0$?
La soluzione trovata si prolunga con continuità in $0$ da destra, poiché risulta:
\[
\lim_{x\to 0^+} y(x) = \lim_{x\to 0^+} \ln^3 (1+2\ \sin x) = \ln 1 = 0
\]
e, una volta prolungata su $0$ tale soluzione, possiamo prolungarla anche a sinistra... Ma in due diversi modi!
Infatti, si può sia considerare $y(x)$ estesa a sinistra di $0$ in modo da conservare la sua espressione esplicita, cioè ponendo:
\[
\overline{y}(x) = \ln^3 (1+2\ \sin x) \qquad \text{per } -\frac{\pi}{6} < x < \pi\; ,
\]
sia ponendo:
\[
\tilde{y}(x) = \begin{cases} \ln^3 (1+2\ \sin x) &\text{, se } 0
Analogamente, la $y$ si può prolungare su $\pi$ per continuità da sinistra ponendo $y(pi)=0$ e, una volta prolungata su $\pi$, tale soluzione si può prolungare pure a destra di $\pi$ in due modi diversi, cioè o conservando la sua espressione analitica, i.e ponendo:
\[
\overline{y}(x) = \ln^3 (1+2\ \sin x) \qquad \text{per } 0 < x < 7\pi/6\; ,
\]
sia ponendo:
\[
\tilde{y}(x) = \begin{cases} \ln^3 (1+2\ \sin x) &\text{, se } 0
Da ciò segue che la soluzione trovata si può prolungare in almeno quattro modi diversi su un intervallo più grande di $I=]0,\pi[$, cioè:
\[
\begin{split}
y_1(x) &= \ln^3 (1+2\ \sin x) \qquad \text{, se } -\frac{\pi}{2}< x < \frac{7\pi}{6}\\
y_2(x) &= \begin{cases} \ln^3 (1+2\ \sin x) &\text{, se } 0
\]
Ovviamente, sono possibili infiniti altri prolungamenti, che si possono ottenere incollando tratti di funzione logaritmica e tratti di funzione nulla.
Detto ciò... La domanda posta dall'esercizio è fondamentalmente "mal posta", poiché non c'è un'unica soluzione del PdC.
Tuttavia, tutte le possibili soluzioni del PdC assegnato prendono in $0$il valore $0$ ed in tal punto c'è perdita di unicità della soluzione.
Nel nostro caso, la funzione a secondo membro, cioè:
\[
f(x,y) := \frac{6\ \cos x}{1+2\ \sin x}\ y^{2/3}
\]
è definita continua in $\RR xx \RR$ e localmente lipschitziana rispetto alla seconda variabile (poiché di classe $C^oo$) in $(\RR xx ]0,+oo[) uu (\RR xx ]-oo,0[)$; ciò implica che la soluzione del PdC associato alla EDO è unica intorno a $x_0$ non appena il punto iniziale $(x_0,y_0)$ ha $y_0\ne 0$.
Dato che nel caso in esame $y_0=\ln^3 3\ne 0$, la soluzione del PdC è unica intorno a $x_0=pi/2$.
Inoltre, data la regolarità di $f$, la soluzione è di classe $C^oo$ fintantoché essa non assume il valore $0$.
Dato che $f$ è positiva in ogni striscia verticale del tipo:
\[
]-\pi/2 + 2k\pi , \pi/2 +2k\pi[\times \mathbb{R}\qquad \text{, con } k\in \mathbb{Z}
\]
negativa su ogni striscia del tipo:
\[
]\pi/2 + 2k\pi , 3\pi/2 +2k\pi[\times \mathbb{R}\qquad \text{, con } k\in \mathbb{Z}
\]
e nulla sui punti del bordo di tali striscie, ne deduciamo che il punto iniziale del PdC assegnato $(pi/2, \ln^3 3)$ è un punto di massimo locale per la soluzione del PdC.
La EDO ha una unica soluzione stazionaria, cioè $y^*(x):=0$, lungo la quale si perde unicità della soluzione; da ciò segue che, in generale, i grafici delle altre soluzioni della EDO (e, dunque, anche quello della soluzione del PdC assegnato) potrebbero intersecare quello della soluzione stazionaria.
Per quanto riguarda la risoluzione del PdC, notiamo che intorno a $x_0=pi/2$ si ha certamente (per continuità e permanenza del segno) $y(x)\ne 0$; dunque, a patto di restringere le considerazioni ad un opportuno intorno di $pi/2$, possiamo dividere m.a.m. la EDO per $y^(2/3)(x)$ ed ottenere l'uguaglianza:
\[
y^{-2/3}(x)\ y^\prime (x) = \frac{6\ \cos x}{1+2\ \sin x}
\]
valida intorno a $pi/2$; passando alle funzioni integrali con punto iniziale in $pi/2$, dalla precedente segue:
\[
\int_{\pi/2}^x y^{-2/3}(t)\ y^\prime (t)\ \text{d} t = \int_{\pi/2}^x \frac{6\ \cos t}{1+2\ \sin t}\ \text{d} t\; .
\]
La formula di integrazione per sostituzione consente di calcolare l'integrale al primo membro con la sostituzione \(\tau = y(t)\): tenendo presente la condizione $y(pi/2) = \ln^3 3$, il primo membro diventa:
\[
\begin{split}
\int_{\pi/2}^x y^{-2/3}(t)\ y^\prime (t)\ \text{d} t &\stackrel{\tau = y(t)}{=} \int_{y(\pi/2)}^{y(x)} \tau^{-2/3}\ \text{d} \tau\\
&= \int_{\ln^3 3}^{y(x)} \tau^{-2/3}\ \text{d} \tau\\
&= \left[ 3\ \tau^{1/3}\right]_{\ln^3 3}^{y(x)}\\
&= 3\ y^{1/3} (x) - 3\ \ln 3\; .
\end{split}
\]
D'altro canto, l'integrale al secondo membro è immediatamente calcolabile:
\[
\begin{split}
\int_{\pi/2}^x \frac{6\ \cos t}{1+2\ \sin t}\ \text{d} t &= \left[ 3\ \ln |1+2\ \sin t|\right]_{\pi/2}^x \\
&= 3\ \ln |1+2\ \sin x| - 3\ \ln 3
\end{split}
\]
dunque la soluzione del PdC è data da:
\[
3\ y^{1/3} (x) - 3\ \ln 3 = 3\ \ln |1+2\ \sin x| - 3\ \ln 3
\]
ossia:
\[
y(x) = \ln^3 |1+2\ \sin x|
\]
e tale espressione analitica vale nel più grande intorno di $x_0=pi/2$ in cui essa è definita e derivabile nonché diversa da zero, i.e. in $I:= ]0, pi[$.
Notiamo che in $I$ l'argomento del valore assoluto è positivo, dunque l'espressione di $y(x)$ si può riscrivere eliminando il valore assoluto:
\[
y(x) = \ln^3 (1+2\ \sin x)\;.
\]
Cosa succede in $0$?
La soluzione trovata si prolunga con continuità in $0$ da destra, poiché risulta:
\[
\lim_{x\to 0^+} y(x) = \lim_{x\to 0^+} \ln^3 (1+2\ \sin x) = \ln 1 = 0
\]
e, una volta prolungata su $0$ tale soluzione, possiamo prolungarla anche a sinistra... Ma in due diversi modi!
Infatti, si può sia considerare $y(x)$ estesa a sinistra di $0$ in modo da conservare la sua espressione esplicita, cioè ponendo:
\[
\overline{y}(x) = \ln^3 (1+2\ \sin x) \qquad \text{per } -\frac{\pi}{6} < x < \pi\; ,
\]
sia ponendo:
\[
\tilde{y}(x) = \begin{cases} \ln^3 (1+2\ \sin x) &\text{, se } 0
Analogamente, la $y$ si può prolungare su $\pi$ per continuità da sinistra ponendo $y(pi)=0$ e, una volta prolungata su $\pi$, tale soluzione si può prolungare pure a destra di $\pi$ in due modi diversi, cioè o conservando la sua espressione analitica, i.e ponendo:
\[
\overline{y}(x) = \ln^3 (1+2\ \sin x) \qquad \text{per } 0 < x < 7\pi/6\; ,
\]
sia ponendo:
\[
\tilde{y}(x) = \begin{cases} \ln^3 (1+2\ \sin x) &\text{, se } 0
Da ciò segue che la soluzione trovata si può prolungare in almeno quattro modi diversi su un intervallo più grande di $I=]0,\pi[$, cioè:
\[
\begin{split}
y_1(x) &= \ln^3 (1+2\ \sin x) \qquad \text{, se } -\frac{\pi}{2}< x < \frac{7\pi}{6}\\
y_2(x) &= \begin{cases} \ln^3 (1+2\ \sin x) &\text{, se } 0
\]
Ovviamente, sono possibili infiniti altri prolungamenti, che si possono ottenere incollando tratti di funzione logaritmica e tratti di funzione nulla.
Detto ciò... La domanda posta dall'esercizio è fondamentalmente "mal posta", poiché non c'è un'unica soluzione del PdC.
Tuttavia, tutte le possibili soluzioni del PdC assegnato prendono in $0$il valore $0$ ed in tal punto c'è perdita di unicità della soluzione.
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