Equazione differenziale?
Buon giorno a tutti, vorrei sapere se è possibile risolvere la seguente equazione differenziale:
(trovare y in funzione della sola x):
$y(x) = (dy)^2/(dx(x+dx))$
Penso si possa iniziare cosi':
$y/dy = (dy/dx)/(x+dx)$
$y/dy = (y')/(x+dx)$
poi non ho la più pallida idea di come continuare...
(trovare y in funzione della sola x):
$y(x) = (dy)^2/(dx(x+dx))$
Penso si possa iniziare cosi':
$y/dy = (dy/dx)/(x+dx)$
$y/dy = (y')/(x+dx)$
poi non ho la più pallida idea di come continuare...
Risposte
Prima di tutto, $dy$ e $dx$ dovrebbero essere i differenziali?!
Da come è espressa direi che l'hai tirata fuori da qualche esercizio di fisica immagino...
Allora, ammesso che l'espressione iniziale abbia senso, l'idea è quella di avere i differenziali solo a numeratore, altrimenti non hanno significato(se non nell'espressione $\frac{dy}{dx}$). Quindi io la riscriverei come:
$$
\frac{(dy)^2}{y}=xdx+(dx)^2
$$
A questo punto sempre ammesso che per le ipotesi del problema l'operazione abbia senso, dividendo tutto per $dx$ otteniamo che
$$
\frac{dy}{dx}\frac{dy}{y}=x+dx\Rightarrow \frac{y'}{y}dy=x+dx
$$
adesso la prima espressione è chiaramente il differenziale del logaritmo di $y$ quindi ottieni che
$$
d(\ln(y))=x+dx
$$
A questo punto, sospetto che il problema sia mal posto, perché da qui non puoi andare avanti, perché l'integrale a destra non avrebbe alcun senso.
Diverso sarebbe se a destra ad esempio avessi $(x+1)dx$ in quel caso la soluzione sarebbe banale.
Da come è espressa direi che l'hai tirata fuori da qualche esercizio di fisica immagino...
Allora, ammesso che l'espressione iniziale abbia senso, l'idea è quella di avere i differenziali solo a numeratore, altrimenti non hanno significato(se non nell'espressione $\frac{dy}{dx}$). Quindi io la riscriverei come:
$$
\frac{(dy)^2}{y}=xdx+(dx)^2
$$
A questo punto sempre ammesso che per le ipotesi del problema l'operazione abbia senso, dividendo tutto per $dx$ otteniamo che
$$
\frac{dy}{dx}\frac{dy}{y}=x+dx\Rightarrow \frac{y'}{y}dy=x+dx
$$
adesso la prima espressione è chiaramente il differenziale del logaritmo di $y$ quindi ottieni che
$$
d(\ln(y))=x+dx
$$
A questo punto, sospetto che il problema sia mal posto, perché da qui non puoi andare avanti, perché l'integrale a destra non avrebbe alcun senso.
Diverso sarebbe se a destra ad esempio avessi $(x+1)dx$ in quel caso la soluzione sarebbe banale.
"Bossmer":
Prima di tutto, dy e dx dovrebbero essere i differenziali?!
Ciao @Bossmer, in realtà si, sarebbero i differenziali...
Hai quasi indovinato...
La formula nasceva da questo ragionamento(che probabilmente è errato)
Ho l'accelerazione che segue questa legge:
$a(t) = (v(t + dt) - v(t)) / dt$
il $dt$ vale:
$dt = (v(t + dt) - v(t)) / (t +dt)$
Moltiplico $a(t)dt$:
$a(t)dt = dv^2/(dt(t+dt))$
qui teoricamente dovrei integrare ed ottenere la velocità.
Ho riformulato il problema cosi', ho le seguenti equazioni:
$f(x) = t + 1$
$f(x)dx = (t + 1)^2$
devo trovare $f(x)$ in funzione di $x$...
"curie88":
il $dt$ vale:
$dt = (v(t + dt) - v(t)) / (t +dt)$
e questo da dove salta fuori??
In pratica ho la velocità che varia cosi:
$v(t) = {1, 3, 6, 10, 15}$
nella prima formulazione devo semplicemente trovare la formula che esprime la velocità al variare di t.
essendo $t = {1, 2, 3, 4, 5}$, ho pensato che:
$dt = (v(t + dt) - v(t)) / (t + dt)$, d'altra parte potevo benissimo porre $t$ uguale a:
$t = v(t + dt) - v(t)$
a dimenticavo nella seconda formulazione se non cado in errore: $dx = t$
$v(t) = {1, 3, 6, 10, 15}$
nella prima formulazione devo semplicemente trovare la formula che esprime la velocità al variare di t.
essendo $t = {1, 2, 3, 4, 5}$, ho pensato che:
$dt = (v(t + dt) - v(t)) / (t + dt)$, d'altra parte potevo benissimo porre $t$ uguale a:
$t = v(t + dt) - v(t)$
a dimenticavo nella seconda formulazione se non cado in errore: $dx = t$
Allora dimentica per un attimo come varia la velocità e come varia il tempo.
Quello che hai scritto, non ha il minimo senso...
Neppure le unità di misura sono corrette...
Secondo il tuo ragionamento i metri sono uguali ai secondi al cubo...
Quello che hai scritto, non ha il minimo senso...
Neppure le unità di misura sono corrette...
Secondo il tuo ragionamento i metri sono uguali ai secondi al cubo...
Si, in effetti me ne sono reso conto...
Il tuo ragionamento parte da una premessa errata alla radice, nel senso che lasciando anche perdere lo scempio matematico e le bestemmie fisiche, l'errore è logico.
Immagina che io viva in Estonia e che i miei capelli crescano proporzionalmente col tempo, ed immagina anche che per un anno molto ben soleggiato la produzione di olive in Puglia cresca proporzionalmente col tempo.
Allora secondo il tuo ragionamento i miei capelli crescono in maniera direttamente proporzionale alla produzione di olive in Puglia... Ma soprattutto secondo il tuo ragionamento quest ultima cosa (che per un anno potrebbe anche essere vera) implica che la crescita dei miei capelli dipende dalla produzione di olive in Puglia...
Immagina che io viva in Estonia e che i miei capelli crescano proporzionalmente col tempo, ed immagina anche che per un anno molto ben soleggiato la produzione di olive in Puglia cresca proporzionalmente col tempo.
Allora secondo il tuo ragionamento i miei capelli crescono in maniera direttamente proporzionale alla produzione di olive in Puglia... Ma soprattutto secondo il tuo ragionamento quest ultima cosa (che per un anno potrebbe anche essere vera) implica che la crescita dei miei capelli dipende dalla produzione di olive in Puglia...
Il ragionamento era questo:
Facciamo partire il tempo con un cronometro e nello stesso istante un veicolo.
L'autista accelera, aumentando la velocità di una quantità proporzionale al tempo passato(dal cronometro).
Nel caso che ho postato la velocità dipenderebbe dal tempo nel modo che segue:
$v(t) = t(t+1)/2$
cioè dopo un secondo:
$v(1) = 1 m/s$
dopo due secondi:
$v(2) = 3 m/s$
dopo 3 secondi:
$v(3) = 6 m/s$
Facciamo partire il tempo con un cronometro e nello stesso istante un veicolo.
L'autista accelera, aumentando la velocità di una quantità proporzionale al tempo passato(dal cronometro).
Nel caso che ho postato la velocità dipenderebbe dal tempo nel modo che segue:
$v(t) = t(t+1)/2$
cioè dopo un secondo:
$v(1) = 1 m/s$
dopo due secondi:
$v(2) = 3 m/s$
dopo 3 secondi:
$v(3) = 6 m/s$
Ma no scusa, se la velocità aumenta di una quantità proporzionale al tempo semplicemente significa che hai un moto uniformemente accelerato...
In particolare hai che
$$
v(t)=at
$$
dove $a$ è la tua costante di proporzionalità, che in particolare corrisponde (come si può dimostrare) con la tua accelerazione.
La formula che hai scritto non è corretta... Anche se te l'avesse data il libro.
Se mi dici che te l'ha data il libro allora li probabilmente c'è un refuso e volevano darti
$$
v(t)=k\frac{t+1}{2}
$$
In particolare hai che
$$
v(t)=at
$$
dove $a$ è la tua costante di proporzionalità, che in particolare corrisponde (come si può dimostrare) con la tua accelerazione.
La formula che hai scritto non è corretta... Anche se te l'avesse data il libro.
Se mi dici che te l'ha data il libro allora li probabilmente c'è un refuso e volevano darti
$$
v(t)=k\frac{t+1}{2}
$$
Ciao, @Bossmer, grazie per la risposta,
Non sono sicuro che deve essere $v(t) = at$, $a$ potrebbe non essere costante...
Il problema è trovare proprio questo parametro $a$.
La formula che ho postato l' ho ricavata per "induzione", ma in effetti anche se, pare palese funzionare per tempi interi $t$, questo non garantisce che funzioni pure per tempi frazionari.( $k=t$, solo per tempi interi? )
Dato che, ho imposto che per tempi $t$ interi deve necessariamente essere:
$v(1) = 1 m/s$
$v(2) = 3 m/s$
sostituendo nella formula da te data $v(t) = k(t+1)/2$:
$v(1) = k(1+1)/2 = 1, -> k = 1$
$v(2) = k(2+1)/2 = 3, -> k = 2$
e quindi sembrerebbe che anche l'accelerazione, vari, dato che $k$, non è costante, per i valori assegnati...
Non sono sicuro che deve essere $v(t) = at$, $a$ potrebbe non essere costante...
Il problema è trovare proprio questo parametro $a$.
La formula che ho postato l' ho ricavata per "induzione", ma in effetti anche se, pare palese funzionare per tempi interi $t$, questo non garantisce che funzioni pure per tempi frazionari.( $k=t$, solo per tempi interi? )
Dato che, ho imposto che per tempi $t$ interi deve necessariamente essere:
$v(1) = 1 m/s$
$v(2) = 3 m/s$
sostituendo nella formula da te data $v(t) = k(t+1)/2$:
$v(1) = k(1+1)/2 = 1, -> k = 1$
$v(2) = k(2+1)/2 = 3, -> k = 2$
e quindi sembrerebbe che anche l'accelerazione, vari, dato che $k$, non è costante, per i valori assegnati...
Ok in effetti è vero, allora analizziamo meglio il problema, che in particolare dice che:
Ovvero sta dicendo che $$\Delta V=k t$$ dove $k$ è per forza costante, altrimenti se $k$ dipendesse dal tempo, non avresti che $\Delta V$ è proporzionale al tempo.
Per i dati che hai inoltre scopri che $k=1$ infatti è verificato che $$2=v(2)-v(1)=k*2$$ quindi $k=1$ inoltre $$3=v(3)-v(2)=a*3$$ quindi $k=1$ e tutto torna.
Quindi abbiamo scoperto senza accorgercene che l'accelerazione media $a_m(t)=\gamma t$ dove appunto $\gamma=1$ Quindi è vero che l'accelerazione non è costante.
Come vedi non era necessario infangarsi in strane equazioni differenziali (e questo prendilo come principio per lo studio)...
"curie88":
L'autista accelera, aumentando la velocità di una quantità proporzionale al tempo passato(dal cronometro).
Ovvero sta dicendo che $$\Delta V=k t$$ dove $k$ è per forza costante, altrimenti se $k$ dipendesse dal tempo, non avresti che $\Delta V$ è proporzionale al tempo.
Per i dati che hai inoltre scopri che $k=1$ infatti è verificato che $$2=v(2)-v(1)=k*2$$ quindi $k=1$ inoltre $$3=v(3)-v(2)=a*3$$ quindi $k=1$ e tutto torna.
Quindi abbiamo scoperto senza accorgercene che l'accelerazione media $a_m(t)=\gamma t$ dove appunto $\gamma=1$ Quindi è vero che l'accelerazione non è costante.
Come vedi non era necessario infangarsi in strane equazioni differenziali (e questo prendilo come principio per lo studio)...
Secondo me andava risolto cosi':
$v'(t) = kt+c$
$\int v'(t)dt = \int(kt+c)dt$
$v(t) = kt^2/2 + ct + c'$
Impongo:
$v(1) = 1; v(2) = 3; v(3) = 6$
e trovo le tre costanti:
$c' = 0, c = 1/2, k = 1$
$v(t) = t^2/2 + t/2 = t(t+1)/2$
anche qui "sembra" che tutto torna...
$v'(t) = kt+c$
$\int v'(t)dt = \int(kt+c)dt$
$v(t) = kt^2/2 + ct + c'$
Impongo:
$v(1) = 1; v(2) = 3; v(3) = 6$
e trovo le tre costanti:
$c' = 0, c = 1/2, k = 1$
$v(t) = t^2/2 + t/2 = t(t+1)/2$
anche qui "sembra" che tutto torna...
Eh no perché il problema dice che $\Delta V=at$ non dice affatto che $v'=at+k$
@Riformulo la risposta, in quanto ero di fretta, nel momento che l' ho scritta.
D'accordo, è evidente, dati i valori del problema che è come dici: $\Delta V = kt$, d'altra parte questo l'avevo notato pure io.
La richiesta è che assegnate delle velocità, al variare del tempo $t$ (per esempio tre, calcolate nei tempi $t$ interi rispettivamente: $1,2,3$), $v(1) = 1 m/s, v(2)=3 m/S, v(3) = 6 m/s$, occorre trovare, la funzione che esprima la velocità in funzione del tempo. Supposto ciò, viene da se, che è $\DeltaV = kt$.
Ma $\Delta V$ non è chiaramente $V(t)$, ed è proprio qui la mia difficoltà, per cui ho postato la domanda in Analisi e non in Fisica.
Supposto $\Delta V$ un infinitesimo di $v(t)$, integrandolo otterrei $v(t)$?
Se fosse cosi' otterrei:
$v(t) = kt^2/2 + c$
Ma sostituendo i valori assegnati, mi rendo subito conto che non c' è corrispondenza, quindi o non si può integrare in questo modo, o siamo partiti male...,ma credo più vera la prima.
"Bossmer":
Eh no perché il problema dice che $\Delta V=at$ non dice affatto che $v'=at+k$
D'accordo, è evidente, dati i valori del problema che è come dici: $\Delta V = kt$, d'altra parte questo l'avevo notato pure io.
La richiesta è che assegnate delle velocità, al variare del tempo $t$ (per esempio tre, calcolate nei tempi $t$ interi rispettivamente: $1,2,3$), $v(1) = 1 m/s, v(2)=3 m/S, v(3) = 6 m/s$, occorre trovare, la funzione che esprima la velocità in funzione del tempo. Supposto ciò, viene da se, che è $\DeltaV = kt$.
Ma $\Delta V$ non è chiaramente $V(t)$, ed è proprio qui la mia difficoltà, per cui ho postato la domanda in Analisi e non in Fisica.
Supposto $\Delta V$ un infinitesimo di $v(t)$, integrandolo otterrei $v(t)$?
Se fosse cosi' otterrei:
$v(t) = kt^2/2 + c$
Ma sostituendo i valori assegnati, mi rendo subito conto che non c' è corrispondenza, quindi o non si può integrare in questo modo, o siamo partiti male...,ma credo più vera la prima.
In realtà devi imporre che la funzione velocità sia monotona ( in particolare monotona strettamente crescente) e derivabile in ogni punto, altrimenti le soluzioni sono sicuramente infinite ed arzigogolate.
In secondo luogo anche con la monotonia, avendo solo tre punti rimangono infinite le funzioni che vi passano attraverso, prendiamo banalmente i polinomi, sai bene che per 2 punti passa una e una sola retta, per 3 punti passa una e una sola parabola e così via... Adesso immagina di avere due soli punti, è chiaro che li in mezzo ci passa una retta, ma ci potrebbe passare anche una parabola, o un cubo, o un polinomio di grado maggiore.
Nel tuo caso hai 3 punti, attraverso i quali si verifica immediatamente che non passa alcuna retta, ma come sai bene passa una sola parabola; ora però altrettanto bene ci potrebbe passare un cubo, o un polinomio di grado maggiore.
Non so se mi segui...
Ora immagina invece che attraverso quei 3 punti ci passasse invece una retta, se tu chiedi che la funzione sia monotona strettamente crescente, derivabile in ogni punto e a concavità fissa (cioè sempre concava o sempre convessa fra quei punti), allora sei sicuro che l'unica funzione che passa attraverso quei tre punti rimanendo monotona e derivabile è la retta che li congiunge...
Lo stesso discorso lo puoi estendere per i polinomi di grado maggiore...
Questo per dirti che 3 punti sarebbero sufficienti nel caso in cui la velocità cresca linearmente col tempo, in quel caso concludi che l'unica funzione derivabile e strettamente monotona e a concavità fissa che li congiunge è la tua retta.
Dato che non siamo in questo caso puoi concludere che :
- $v$ non è un polinomio di primo grado.
- se $v$ è un polinomio di secondo grado allora è unico.
- esistono infiniti polinomi di grado 3 che passano per quei tre punti;
- esistono infiniti polinomi di grado 4 che passano per quei tre punti;
- esistono ... insomma hai capito l'antifona.
Questo solo nel caso dei polinomi, potrebbero esistere funzioni complicatissime che passano per quei tre punti... Molte di queste funzioni vengono escluse grazie al'ipotesi di STRETTA monotonia nell'intervallo $(0,+\infty)$ e altre ancora grazie all'ipotesi di derivabilità e altre ancora grazie all'ipotesi di concavità fissa, sempre nel medesimo intervallo; però non è da escludere che potrebbero esisterne altre.
Diversa sarebbe la faccenda se avessi 4 punti e dimostrassi che tali punti appartengono ad una parabola, in quel caso sempre con le due ipotesi supplementari che ormai avrò ripetuto 5 volte, l'unica curva "in grazia di Dio" che li attraversa è la parabola trovata.
In secondo luogo anche con la monotonia, avendo solo tre punti rimangono infinite le funzioni che vi passano attraverso, prendiamo banalmente i polinomi, sai bene che per 2 punti passa una e una sola retta, per 3 punti passa una e una sola parabola e così via... Adesso immagina di avere due soli punti, è chiaro che li in mezzo ci passa una retta, ma ci potrebbe passare anche una parabola, o un cubo, o un polinomio di grado maggiore.
Nel tuo caso hai 3 punti, attraverso i quali si verifica immediatamente che non passa alcuna retta, ma come sai bene passa una sola parabola; ora però altrettanto bene ci potrebbe passare un cubo, o un polinomio di grado maggiore.
Non so se mi segui...
Ora immagina invece che attraverso quei 3 punti ci passasse invece una retta, se tu chiedi che la funzione sia monotona strettamente crescente, derivabile in ogni punto e a concavità fissa (cioè sempre concava o sempre convessa fra quei punti), allora sei sicuro che l'unica funzione che passa attraverso quei tre punti rimanendo monotona e derivabile è la retta che li congiunge...
Lo stesso discorso lo puoi estendere per i polinomi di grado maggiore...
Questo per dirti che 3 punti sarebbero sufficienti nel caso in cui la velocità cresca linearmente col tempo, in quel caso concludi che l'unica funzione derivabile e strettamente monotona e a concavità fissa che li congiunge è la tua retta.
Dato che non siamo in questo caso puoi concludere che :
- $v$ non è un polinomio di primo grado.
- se $v$ è un polinomio di secondo grado allora è unico.
- esistono infiniti polinomi di grado 3 che passano per quei tre punti;
- esistono infiniti polinomi di grado 4 che passano per quei tre punti;
- esistono ... insomma hai capito l'antifona.
Questo solo nel caso dei polinomi, potrebbero esistere funzioni complicatissime che passano per quei tre punti... Molte di queste funzioni vengono escluse grazie al'ipotesi di STRETTA monotonia nell'intervallo $(0,+\infty)$ e altre ancora grazie all'ipotesi di derivabilità e altre ancora grazie all'ipotesi di concavità fissa, sempre nel medesimo intervallo; però non è da escludere che potrebbero esisterne altre.
Diversa sarebbe la faccenda se avessi 4 punti e dimostrassi che tali punti appartengono ad una parabola, in quel caso sempre con le due ipotesi supplementari che ormai avrò ripetuto 5 volte, l'unica curva "in grazia di Dio" che li attraversa è la parabola trovata.
Si ti ringrazio, dubitavo si potesse ottenere una soluzione univoca solamente con quei parametri...ora ho la conferma! 
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