Equazione differenziale
Sera a tutti, ho dei problemi nel trovare la soluzione particolare di questa equazione differenziale:
$y''+y=cosx$ potete aiutarmi?
$y''+y=cosx$ potete aiutarmi?
Risposte
ciao Boyka22
la omogenea associata è
$k^2+1=0$
con soluzioni
$k=+-i$
soluzione omogenea
$y=C_1 cosx+ C_2 sinx$
per la particolare la sai risolvere se il 2 membro è del tipo $P(x) e^(ax) cos 8bx)$
ed è il tuo caso con $a=0$ e $b=1$ e $P(x)=1$
consideri il numero complesso $z=a+ib$ e vedi se è soluzione della omogenea... lo è!!!! con molteplicità $1$
Allora la particolare è, per la teoria che dovresti aver studiato
$y_p=x (A cosx+B sinx)$
derivi questa $y_p$ due volte e dovrebbe essere a scanso di errori
$y_p'=Acosx+Bsinx+x(Bcosx-Asinx)$
$y_p''=2Bcosx-2Asinx-x(Acosx+Bsinx)$
sostituisci nella generale $y''+y=cosx$ ottenendo se non vado errato
$A=0$
$B=1/2$
da cui la generale
$y=C_1 cosx+ C_2 sinx + x/2 sinx$
se fai la prova del 9 utilizzando questa derivandola due volte e mettendola nella generale vedi che il risultato è corretto
ciao!!!
la omogenea associata è
$k^2+1=0$
con soluzioni
$k=+-i$
soluzione omogenea
$y=C_1 cosx+ C_2 sinx$
per la particolare la sai risolvere se il 2 membro è del tipo $P(x) e^(ax) cos 8bx)$
ed è il tuo caso con $a=0$ e $b=1$ e $P(x)=1$
consideri il numero complesso $z=a+ib$ e vedi se è soluzione della omogenea... lo è!!!! con molteplicità $1$
Allora la particolare è, per la teoria che dovresti aver studiato
$y_p=x (A cosx+B sinx)$
derivi questa $y_p$ due volte e dovrebbe essere a scanso di errori
$y_p'=Acosx+Bsinx+x(Bcosx-Asinx)$
$y_p''=2Bcosx-2Asinx-x(Acosx+Bsinx)$
sostituisci nella generale $y''+y=cosx$ ottenendo se non vado errato
$A=0$
$B=1/2$
da cui la generale
$y=C_1 cosx+ C_2 sinx + x/2 sinx$
se fai la prova del 9 utilizzando questa derivandola due volte e mettendola nella generale vedi che il risultato è corretto
ciao!!!
Grazie mille!! Il fatto è che su questo argomento la nostra prof ha fatto solo 3 lezioni, quindi sto cercando di studiarmele per conto mio e l'unica pecca per ora è sempre quando devo trovare la soluzione particolare
C e la regola
Il 2 membro deve wssere
$e^(ax)p (x) cos bx $
Tu fai il numero complesso $z=a+ib $ e guardi se e soluzione della omogenea (con molteplicita $m $) oppure no
La particolare e
$y_p=x^m e^(ax) (q (x) cos bx + q (x) sin bx) $ con $q (x) $ polinomio di grado pari a $p (x) $
Fai un po di esercizi sono abbastanza semplici
Ciao
Il 2 membro deve wssere
$e^(ax)p (x) cos bx $
Tu fai il numero complesso $z=a+ib $ e guardi se e soluzione della omogenea (con molteplicita $m $) oppure no
La particolare e
$y_p=x^m e^(ax) (q (x) cos bx + q (x) sin bx) $ con $q (x) $ polinomio di grado pari a $p (x) $
Fai un po di esercizi sono abbastanza semplici
Ciao
"mazzarri":
C e la regola
Il 2 membro deve wssere
$e^(ax)p (x) cos bx $
Tu fai il numero complesso $z=a+ib $ e guardi se e soluzione della omogenea (con molteplicita $m $) oppure no
La particolare e
$y_p=x^m e^(ax) (q (x) cos bx + q (x) sin bx) $ con $q (x) $ polinomio di grado pari a $p (x) $
Fai un po di esercizi sono abbastanza semplici
Ciao
Ciao mazzarri =) ne approfitto di questo post per chiederti un aiuto , sperando che tu possa essermi d'aiuto , ti ringrazio in anticipo
y(4) +7y(3)+9y(2)+63y(1) = 2sin(t)
Per cominciare so che devo risolvere eq associata :
z^4 +7z^3 +9z^2+63z = 0
raccolgo z ed ottengo la prima soluzione z = 0
z( z^3 + 7z^2 +9z +63) = 0
Con ruffini ottengo
z(z+7 )(z^2 + 9 ) = 0
per cui tutte le soluzioni sono : z= 0 , -7 , +3i , -3i
scrivo la soluzione dell'omogenea in forma c2*e^0 + c1*e^-7x +c3cos3x +c4sin3x
non saprei come trovare quella particolare
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