Equazione differenziale

[andrea.corzino]

Ho un problema:

"Data la seguente equazione differenziale"

$ (d^2x)/(dt^2)+w^2x(t)=0 $

sapendo che la soluzione generale è:

$ x(t)=c_1 cos(wt)+c_2sen(wt) $

dimostrare che puo essere scritta nelle due forme equivalenti:

$ x(t)=Asen(wt+phi) $
$ x(t)=Bcos(wt+psi) $

utilizzare le formule di addizione/sottrazione.


Come devo procedere,ho provato percio a riscrivere la prima soluzione alternativa come:

$ Asen(wt+phi)=A[sen(wt)cosphi+cos(wt)senphi] $

ma ora come devo procedere? ho provato ad uguagliarla alla soluzione generale ma non sono riuscito ad ottenere nulla di significativo

[Camillo]

Ricorda che $cos phi $ è un numero ad esempio chiamalo $c_2 $ e che $sen phi $ è pure un numero , chiamalo $c_1 $ ...

[andrea.corzino]

ciao!
quindi:

$ Asen(wt+phi)=A[sen(wt)c_2+cos(wt)c1] $ $ Asen(wt+phi)=A[sen(wt)c_1+cos(wt)c_2]= Ac_1*sen(wt)+Ac_2*cos(wt) $

ora cosa devo fare l'ho gia dimostrata?

ma rispetto alla soluzione generale
$ x(t)=c_1cos(wt+phi)+c_2sen(wt+phi) $

io ho $ c_1 $ associato all'addendo contenente $ sen $ mentre nella soluzione generale standard $ c_1 $ è accompagnato al $ cos $
....

non avrei dovuto percio chiamare l'opposto,cioè:

$ cosphi=c_1 $ e $ senphi=c_2 $ ?


e infine l' A la inglobo nella costante giusto?'

grazie

[andrea.corzino]

un parere sull'ultima dubbio?

grazie