Equazione differenziale

[cicalino1]

Ciao,
Oggi nell'esonero di analisi matematica c'era questa equazione differenziale:

$ y'' + 2y' + 2y = 5sin(x) $

Ho trovato la soluzione dell'equazione omogenea associata:

$ c_1 e^(-x) sin(x) + c_2 e^(-x) cos(x) $

A questo punto, per trovare la soluzione particolare, ho fatto il sistema:

$\{(c_1(x)' e^(-x) sin(x) + c_2(x)' e^(-x) cos(x) = 0),(c_1(x)' [-e^(-x) sin(x) + e^(-x) cos(x)] + c_2(x)' [-e^(-x) cos(x) - e^(-x) sin(x)] = 5sin(x)):}$

E ho trovato, infine:

$c_1(x) = \int 5e^(x) sin(x) cos(x)dx $
$c_2(x) = \int -5e^(x) sin^(2)(x)dx $

Bene, a questo punto non rimane che fare gli integrali.
Volevo chiedervi se, nel caso di integrali come questi (da risolvere per parti e con seni e coseni), ci sia qualche scorciatoia particolare, perché mi sono perso nei calcoli non venendone più a capo... voi come procedereste?

Grazie in anticipo

[dilettabenedetti]

Io per trovare la soluzione particolare non avrei fatto così. Avrei applicato uno dei metodi "ad hoc", in particolare avrei cercato:

$ y(particolare) = Asinx + Bcosx $

A questo punto avrei fatto le opportune derivate prima e seconda e le avrei sostituite al posto di $ y' e y'' $ nell'equazione di partenza. Una volta trovati A e B hai trovato la soluzione completa con le costanti C1 e C2

Il valore di queste costanti lo trovi solo se hai un problema di Cauchy da risolvere.. Non so se mi sono spiegata!!

[ostrogoto1]

Se vuoi risolvere gli integrali si puo' usare la scrittura di senx et cosx in forma complessa:
da
$ { ( e^(itheta)=cos(theta)+isen(theta) ),( e^(-itheta)=cos(theta)-sen(theta) ):} $
segue
$ { ( cos(theta)=(e^(itheta)+e^(-itheta))/2 ),( sen(theta)=(e^(itheta)-e^(-itheta))/(2i)):} $

quindi

$ 5inte^xsin(x)cos(x)dx= 5/2inte^xsin(2x)dx=5/(2i)int[e^(x(1+2i))-e^(x(1-2i))]dx=5/(2i)[1/(1+2i)e^(x(1+2i))-1/(1-2i)e^(x(1-2i))]=5e^x/(2i)[(e^(i2x)-2ie^(i2x)-e^(-i2x)-2ie^(-i2x))/5]=e^x[(e^(i2x)-e^(-i2x))/(2i)-2i(e^(2ix)+e^(-i2x))/(2i)]=e^x[sen(2x)-2cos(2x)] $

Similmente l'altro integrale!

[cicalino1]

"Pellegrini":Io per trovare la soluzione particolare non avrei fatto così. Avrei applicato uno dei metodi "ad hoc", in particolare avrei cercato:

$ y(particolare) = Asinx + Bcosx $

A questo punto avrei fatto le opportune derivate prima e seconda e le avrei sostituite al posto di $ y' e y'' $ nell'equazione di partenza. Una volta trovati A e B hai trovato la soluzione completa con le costanti C1 e C2

Il valore di queste costanti lo trovi solo se hai un problema di Cauchy da risolvere.. Non so se mi sono spiegata!!

Purtroppo non mi ero imparato il metodo di sovrapposizione, che adesso tuttavia ho studiato. Quindi mi verrebbe così:

indicando con $ y_p $ la soluzione particolare,

$ y_p '' + 2y_p ' + 2y_p = 5cos(x) $

$ rArr $ $\{(y_p ' = -Asin(x) + Bcos(x)),(y_p '' = -Acos(x) -Bsin(x)):}$

...saltando alcuni passaggi algebrici...

$ rArr $ $(A + 2B)cos(x) + (B - 2A)sin(x) = 5cos(x)$

$ rArr $ $\{(A + 2B = 5),(B - 2A = 0):}$

$ rArr $ $\{(A = 5/3),(B = 5/3):}$

$ rArr $ $y = y_o + y_p = e^(-x) (c_1 cos(x)) + c_2(sin(x)) + 5/3(cos(x) + sin(x))$

giusto?

Grazie a entrambi per le risposte!

[cicalino1]

La traccia del compito chiedeva, inoltre:

1) scrivere la soluzione generale dell’equazione completa e dire se ogni soluzione e limitata nell’intervallo $[0, +oo)$

2) determinare la soluzione dell’equazione completa che soddisfa i dati di Cauchy $ y(0) = 0; y'(0) = 1$


Sempre ammesso che la soluzione che ho mostrato nel precedente post sia giusta, alla prima domanda ho risposto che la soluzione omogenea è illimitata in quell'intervallo mentre quella particolare è limitata.

Mentre per quanto riguarda la seconda ho trovato: $c_1 = -5/3; c_2 = 1$

Potete confermarmi che ho fatto tutto giusto? Ve lo chiedo perché all'orale probabilmente mi chiederà di rifare questo esercizio in quanto l'ho sbagliato, e vorrei essere sicuro di averlo risolto bene. Grazie mille

[dilettabenedetti]

Allora aspetta, la soluzione particolare y la prenderei del tipo:

$ y = Acosx + Bsinx $
Quindi:

$y'= -Asinx +Bcosx $
$y''= -Acosx -Bsinx $

Sostituisci queste due equazioni in $ y''+2y'+2y=5sinx $ e ottieni:

$-Acosx -Bsinx +2( -Asinx+Bcosx) +2(Acosx+Bsinx)= 5sinx $

Risolvendo ottieni A=-2 e B=1

La soluzione generale è: $(C1cosx + C2sinx)e^-x -2cosx +sinx $

Per la soluzione del problema di Cauchy invece:

$C1-2=0 E C2-C1+1=1. $

Questi sono i sistemi che ti dovrebbero venire, da cui $C1=C2=2$

Spero di essermi spiegata, mi scuso per eventuali errori di formattazione ma sono da cellulare. In bocca al lupo per il tuo esame!!!

[cicalino1]

Allora ho fatto un po' di confusione io , perché nel primo messaggio ho presentato l'equazione uguale a $sinx$, ma negli altri messaggi ho risolto la stessa equazione posta uguale a $cosx$ (infatti erano due testi d'esame diversi, uno appunto con seno e l'altro con coseno). E, dulcis in fundo, ho anche sbagliato a riportare il problema di Cauchy, in quanto quello giusto è: $y(0) = 1; y'(0) = 0$ (avevo invertito).

Comunque rifacendola mi viene come te, a parte il problema di Cauchy che ovviamente io ho risolto con la traccia giusta, e mi viene: $c_1 = 3; c_2 = 2$ (sempre relativo all'equazione con seno, quindi quella che hai risolto tu).
Mentre con coseno mi viene: $c_1 = 0; c_2 = -2$

Grazie mille per le risposte

[dilettabenedetti]

Di niente figurati!