Equazione differenziale:
$(d v_c)/(dt)+v_c/(RC)=E/(RC)$
Come trovo la soluzione dell'equazione omogenea e della particolare? non è lineare del primo ordine?
P.s: R,E,C sono costanti
Il libro mi dice che la soluzione della particolare è proprio E.
Come trovo la soluzione dell'equazione omogenea e della particolare? non è lineare del primo ordine?
P.s: R,E,C sono costanti
Il libro mi dice che la soluzione della particolare è proprio E.
Risposte
Sì, è lineare. Per l'omogenea dovresti sapere come fare, per la particolare, osserva che se prendi $v_c=k$ costante, allora segue $k/{RC}=E/{RC}$ per cui...
No non ho capito. Io per questo tipo di equazioni utilizzavo la seguente formula: Data un equazione $v'+av=g $
$e^(-S) (k+int g(t)e^(S)) $
dove $S= int a dt $
dove sta l'errore?
$e^(-S) (k+int g(t)e^(S)) $
dove $S= int a dt $
dove sta l'errore?
Data $ y'+ay=c $ dove $ a,c in mathbb(R) $ c'e' un sistema piu' rapido rispetto alla tua formula che rassomiglia alla formula risolutiva piu' generale per le equazioni lineari del primo ordine a coeff non costanti, per intenderci
$ y'+p(x)y=q(x) $ dove p(x) et (q(x) sono delle funzioni.
Risolvi: prima l'equazione (omogenea associata) $ y'+ay=0 $ e quindi:
$ y(x)= Ae^(-ax) $ con $ A in mathbb(R) $ dipendente dal dato iniziale.
Poi essendo c un numero la soluzione particolare della $ y'+ay=c $ (1) e' proprio $ y_0=c/a $. Per verificare che questa e' una soluzione particolare basta sostituirla in (1) ed essendo $ y_0'=0 $ si ottiene immediatamente quanto cercato.
Quindi la soluzione generale sara':
$ y(x)=Ae^(-ax)+c/a $
Applica quanto detto nel tuo caso particolare.
Questo giochino funziona e semplifica la ricerca della soluzione per le equazioni in cui si hanno coefficienti numerici, naturalmente si otteniene la stessa soluzione che si otterrebbe utilizzando la tua formula.
P.s. ho corretto al volo il messaggio perche' c'e' un meno all'esponenziale...sorry, ora e' ok
$ y'+p(x)y=q(x) $ dove p(x) et (q(x) sono delle funzioni.
Risolvi: prima l'equazione (omogenea associata) $ y'+ay=0 $ e quindi:
$ y(x)= Ae^(-ax) $ con $ A in mathbb(R) $ dipendente dal dato iniziale.
Poi essendo c un numero la soluzione particolare della $ y'+ay=c $ (1) e' proprio $ y_0=c/a $. Per verificare che questa e' una soluzione particolare basta sostituirla in (1) ed essendo $ y_0'=0 $ si ottiene immediatamente quanto cercato.
Quindi la soluzione generale sara':
$ y(x)=Ae^(-ax)+c/a $
Applica quanto detto nel tuo caso particolare.
Questo giochino funziona e semplifica la ricerca della soluzione per le equazioni in cui si hanno coefficienti numerici, naturalmente si otteniene la stessa soluzione che si otterrebbe utilizzando la tua formula.
P.s. ho corretto al volo il messaggio perche' c'e' un meno all'esponenziale...sorry, ora e' ok
"Magister":
No non ho capito. Io per questo tipo di equazioni utilizzavo la seguente formula: Data un equazione $ v'+av=g $
$ e^(-S) (k+int g(t)e^(S)) $
dove $ S= int a dt $
dove sta l'errore?
nessun errore l'equazione è $(d v_c)/(dt)+v_c/(RC)=E/(RC)$, semplifichiamoci la vita è poniamo $RC=\tau$ quindi
$(d v_c)/(dt)+v_c/\tau=E/\tau$
Usando la tua nomenclatura $S$ é una primitiva di $1/\tau$ cioè $t/\tau$ (la variabile di integrazione è $t$) da cui
$v_c(t)=e^{-t/\tau}(\int E/\tau e^{t / \tau} dt + k )=E+ke^{-t/\tau}$ quindi per $k=0$ si ottiene la soluzione costante
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