Equazione Differenziale
ragazzi mi aiutate con questa equazione differenziale
$y'-2ycosx=2(e^(2sinx)cosx)sqrt(y)$
non ho proprio idea di come fare, il metodo di somiglianza non si può applicare e i raccoglimenti non mi potano a nessuna parte
$y'-2ycosx=2(e^(2sinx)cosx)sqrt(y)$
non ho proprio idea di come fare, il metodo di somiglianza non si può applicare e i raccoglimenti non mi potano a nessuna parte
Risposte
E' un equazione di Bernulli:
$ y'+p(x)y=q(x)y^alpha $ (1)
che si puo' ricondurre a una equazione lineare con
$ (y')/y^alpha+p(x)y^(1-alpha)=q(x) $
e un cambio di variabile $ z=y^(1-alpha) $
calcola z' e sostituisci in (1).
$ y'+p(x)y=q(x)y^alpha $ (1)
che si puo' ricondurre a una equazione lineare con
$ (y')/y^alpha+p(x)y^(1-alpha)=q(x) $
e un cambio di variabile $ z=y^(1-alpha) $
calcola z' e sostituisci in (1).
ok, grazie, ho capito. ora mi puoi aiutare con questa
$ y'''-2y''+y'=e^x+2$
non so bene come affrontare questo caso con la presenza di una costante, se prendo in considerazione l'equazione omogenea
$y^3-2y^2+y$ usando ruffini trovo come soluzioni 0 con molteplicità 1 e 1 con molteplicità 2, quindi per il metodo si somiglianza pongo $y=kx^2e^x$
quindi a questa $ y'''-2y''+y'=e^x+2$ e vado a sostituire le derivate e trovo k, giusto? oppure devo farla in un'altra maniera per via della costante al secondo membro
$ y'''-2y''+y'=e^x+2$
non so bene come affrontare questo caso con la presenza di una costante, se prendo in considerazione l'equazione omogenea
$y^3-2y^2+y$ usando ruffini trovo come soluzioni 0 con molteplicità 1 e 1 con molteplicità 2, quindi per il metodo si somiglianza pongo $y=kx^2e^x$
quindi a questa $ y'''-2y''+y'=e^x+2$ e vado a sostituire le derivate e trovo k, giusto? oppure devo farla in un'altra maniera per via della costante al secondo membro
La soluzione dell'omogenea è $y=C_1+(C_2+C_3 x)e^x$. Per quanto riguarda la soluzione particolare, dal momento che sono già presenti la soluzione costante e quella esponenziale, devi usare una cosa del tipo $y_p=ax+bx^2 e^x$ (molteplicità costante 1 implica moltiplicare per $x^1$, molteplicità dell'esponenziale 2, implica moltiplicare per $x^2$).
scusa, ma perchè la costante ha molteplicità 1? le soluzioni di $y^3-2y^2+y=0$ sono 0 con molteplicità 1 e 1 con molteplicità 2 quindi l'esponenziale ha molteplicità 2 ma la costante mica ne ha?
Se una delle soluzione dell'associata è $\lambda=0$, essa corrisponde alla funzione $e^{0x}=1$, cioè la costante. Riflettere, prima di parlare, non è male. 
ok, avevo capito un'altra cosa, tra poco lo svolgo e posto la soluzione così vediamo se va bene
ok, allora pongo $y_p=ax+bx^2e^x $
$y'=a+b(2xe^x+x^2e^x) $
$y''=b(2e^x+4xe^x+x^2e^x)$
$y'''=b(5e^x+6xe^x+x^2e^x)$
quindi
$e^x(b2x+bx^2-4b-8bx-2bx^2+5b+6bx+bx^2-1)+a-2=0$
nella parentesi di di $e^x$ basta prendere i termini noti quindi
$-4b+5b-1=0$ $rArr$ $b=1$
e poi $a=2$
perciò $y=C_1+(C_2+xC_3)e^x+2x+x^2e^x$ giusto? anche se non controlli i calcoli basta che mi confermi il ragionamento
un'ultima domanda, quando ho
$y''-2y'+y=(e^x)/x$ come devo ragionare? devo usare il metodo della risposta impulsiva?
$y'=a+b(2xe^x+x^2e^x) $
$y''=b(2e^x+4xe^x+x^2e^x)$
$y'''=b(5e^x+6xe^x+x^2e^x)$
quindi
$e^x(b2x+bx^2-4b-8bx-2bx^2+5b+6bx+bx^2-1)+a-2=0$
nella parentesi di di $e^x$ basta prendere i termini noti quindi
$-4b+5b-1=0$ $rArr$ $b=1$
e poi $a=2$
perciò $y=C_1+(C_2+xC_3)e^x+2x+x^2e^x$ giusto? anche se non controlli i calcoli basta che mi confermi il ragionamento
un'ultima domanda, quando ho
$y''-2y'+y=(e^x)/x$ come devo ragionare? devo usare il metodo della risposta impulsiva?
Sì, tutto giusto.
Per la seconda il metodo di somiglianza (quello usato prima) non vale. Devi usare la variazione delle costanti (o del Wronskiano). Lo conosci?
Per la seconda il metodo di somiglianza (quello usato prima) non vale. Devi usare la variazione delle costanti (o del Wronskiano). Lo conosci?
si lo conosco, non ci avevo proprio pensato, grazie mille 
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