Equazione differenziale

[signfra]

Salve, ho il seguente sistema di equazione differenziale:

$\{(i1'(t)=i3'(t)),(3*i3'(t) + i3(t)*(9/2 +2t )):}$


Come si risolve la equazione differenziale senza usare direttamente la formula risolutiva?

Poi per ricavare la i3'(t) basta fare la derivata del risultato trovato nell'equazione differenziale?

[Raam]

Salve.


Mi sembra tutto molto strano sinceramente, a partire dal fatto che la seconda non si può considerare un' "equazione" visto che manca l'uguale.

Abbiamo due funzioni \(\displaystyle i_1(t) \) e \(\displaystyle i_3(t) \).
La prima equazione \(\displaystyle i_1'(t)=i_3'(t) \) ci indica che le funzioni hanno la stessa derivata prima, perciò \(\displaystyle i_1(t) \) e \(\displaystyle i_3(t) \) differiranno solo per il termine noto (la costante).

Se nella seconda riga del sistema aggiungiamo "=0", questa diventa un'equazione differenziale lineare del primo ordine. Si può ricavare la soluzione senza usare la formula attraverso il metodo delle variazioni delle costanti, ma in questo caso specifico abbiamo di fronte un'equazione che possiamo risolvere per separazione di variabili [attenzione che come sto per fare è formalmente poco preciso]:

\(\displaystyle 3i_3'(t)+i_3(t)\frac{9+4t}{2}=0 \) [ho fatto il mcm]

\(\displaystyle 3i_3'(t)=-i_3(t)\frac{9+4t}{2} \)

\(\displaystyle 3\frac{di_3}{dt}=-i_3\frac{9+4t}{2} \) [adesso scriviamo la derivata prima sotto forma di rapporto tra differenziali]

\(\displaystyle \frac{di_3}{i_3}=-\frac{9+4t}{6}dt \)

\(\displaystyle \int \frac{di_3}{i_3}=-\frac{1}{6} \int (9+4t) dt \)

\(\displaystyle \ln(i_3) = -\frac{1}{6} (9t+2t^2) + \text{costante} \)

\(\displaystyle i_3 = \text{C}e^{-1/6 \cdot (9t+2t^2)} \)

Segue poi che \(\displaystyle i_1(t)=i_3(t) \).