Equazione differenziale
Trovare la soluzione generale dell'equazione:
$ x^2y''+xy^{\prime}-9y=x^2-2x $
Non so se l'ho risolta giustamente comunque, ho provato così: essendo questa un'equazione d'Eulero (ovvero che i coefficienti non sono costanti) per la soluzione omogenea, sostituisco $ y=x^m $
quindi:
$ y'=mx^(m-1) $ e $ y'=m(m-1)x^(m-2) $ da qui ho quindi che sostituendo all'equazione $ m^2-9=0 $ e trovo che, le due soluzioni sono m=-3 ed m=3
quindi la soluzione dell'omogenea è:
$ (c1)x^3+(c2)x^(-2) $
Ora per determinare la soluzione particolare come proseguo?..usando il metodo della variazione delle costanti..ovvero risolvendo tale sistema?
$ { ( (c1)'x^3+(c2)'x^(-2)=0 ),( (c1)' 3x^2-2(c2)'x^(-1)=x^2-2x ):} $
$ x^2y''+xy^{\prime}-9y=x^2-2x $
Non so se l'ho risolta giustamente comunque, ho provato così: essendo questa un'equazione d'Eulero (ovvero che i coefficienti non sono costanti) per la soluzione omogenea, sostituisco $ y=x^m $
quindi:
$ y'=mx^(m-1) $ e $ y'=m(m-1)x^(m-2) $ da qui ho quindi che sostituendo all'equazione $ m^2-9=0 $ e trovo che, le due soluzioni sono m=-3 ed m=3
quindi la soluzione dell'omogenea è:
$ (c1)x^3+(c2)x^(-2) $
Ora per determinare la soluzione particolare come proseguo?..usando il metodo della variazione delle costanti..ovvero risolvendo tale sistema?
$ { ( (c1)'x^3+(c2)'x^(-2)=0 ),( (c1)' 3x^2-2(c2)'x^(-1)=x^2-2x ):} $
Risposte
Sì, è quello.... però la derivata di $x^{-3}$ secondo me fa $-3x^{-4}$....
Ah ok mi sono sbagliata xD comunque grazie.. quindi alla fine mi trovo c1' e c2', li integro e mi trovo così c1 e c2 e sostituendoli quella che trovo è la soluzione generale, giusto?
Sì, esatto.
Ok, benissimo, grazie mille!
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