Equazione differenziale

[mark36]

Salve a tutti, ho un problema con questa equazione differenziale:

[tex]y''-y'-2y=(2x-1)e^x[/tex]

E' innanzi tutto una equazione di II ordine non omogenea, trovo quindi inizialmente la soluzione generale omogenea che è:

1) [tex]y_o (x)=c_1e^x+c_2e^-2x[/tex]

quando però vado a trovare quella particolare, in particolare (scusate il gioco di parole ) [tex]c_1 (x) \ e \ c_2 (x)[/tex] mi trovo in difficoltà con gli integrali! in sintesi mi viene

[tex]c'_1 (x)=\frac {2x-1}{2x+1}[/tex] che lo risolvo facilmente usando +1-1;
[tex]$ c'_2 (x)=- \frac {(2x-1)e^x}{e^[-2x] (2x+1)} $[/tex] mi trovo però in difficoltà con questo!

sapete dirmi come risolverlo? ci sta anche che abbia sbagliato i calcoli, però non mi è sembrato ricontrollando


p.s il "-2x" al denominatore fa parte dell'esponenziale, non so perchè me lo manda giu insieme a 2x+1

[Quinzio]

a) il risultato dell'omogenea non è corretto
b) non c'è bisogno di usare il metodo di variazione delle costanti (anche se produce il risultato corretto)

[mark36]

come mai non è corretto il risultato dell'omogenea?

[giuscri]

"mark36":come mai non è corretto il risultato dell'omogenea?

A me risulta
\[y_H(x) = c_1 e^{-x} + c_2 e^{2x}\]

"Quinzio":non c'è bisogno di usare il metodo di variazione delle costanti (anche se produce il risultato corretto)

Anche io seguirei il consiglio di Quinzio: Mark, hai da qualche parte un bestiario di soluzioni particolari di alcune ODE lineari particolari ( )?

Accade infatti che

Data
\[y^{(k)} + \sum_{j = 0}^{k-1} y^{(j)} = b(x) \tag{1}\]
se \(b(x)\) e' qualcosa del tipo \(P(x) e^{\mu x}\) con \(P\) polinomio di grado \(h\) e \(\mu\) non e' radice del polinomio caratteristico, allora tra le soluzioni di \((1)\) c'e' una funzione del tipo \(Q(x) e^{\mu x}\), con \(Q(x)\) polinomio di grado anch'esso \(h\).

Nel nostro caso \(\mu \equiv 1\) non e' radice del polinomio caratteristico -che e' \((\lambda +1) \cdot (\lambda -2)\)- allora puoi applicare la tecnica citata qui sopra: una soluzione di \((1)\) sara' un exp di ics per grado uno, i.e.
\[(ax + b) e^x = y^*(x)\]
con \(a\) e \(b\) costanti da determinare (derivi due volte, e sostituisci nella ODE). Io ho trovato che \(a = -1\) e \(b = 0\). Quindi una soluzione particolare sara'
\[y^*(x) = -x e^x\]

Tutte le soluzioni saranno
\[y(x) = -x e^x + \left[ c_1 e^{-x} + c_2 e^{2x} \right] \, \qquad c_1,\,c_2 \in \mathbb{R}\]
...a meno di errori di conto.

Comunque cercatelo un bestiario! In casi come questi (e probabilmente sempre di piu' salendo di ordine, quando la Wronsk. diventa da malditesta -gia' da \(2\) in poi forse) direi sia molto utile.

"mark36":p.s il "-2x" al denominatore fa parte dell'esponenziale, non so perchè me lo manda giu insieme a 2x+1

Braces:

\( e^{-2x} \)

[Quinzio]

come mai non è corretto il risultato dell'omogenea?

I risultati vanno provati, sempre, quando si può.
E' come controllare di avere le chiavi in tasca quando si esce di casa !

Allora io assumo $c_1=1, c_2=0$

diventa $y=e^x$

e quindi $y''-y'-2y=e^x-e^x-2e^x=0$ ?

[mark36]

ho capito grazie a tutti!! scusate il ritardo ma ero fuori e non ho avuto occasione di rispondere...