Equazione differenziale
Ciao a tuttti!
Non riesco a capire come risolvere questo esercizio di analisi 2 che mi è capitato ieri all'esame.
Testo:
"Determinare la soluzione dell'equazione $y'=(y^2+5)^(1/2)/y$ tale che $y(0)=20^(1/2)$.
Confrontare i risultati con l'esercizio precedente: in particolare determinare l'intervallo massimale di esistenza e gli eventuali asintoti."
L'esercizio precedente (che sono riuscito a risolvere) chiedeva:
"Si consideri il problema di Cauchy $y'=(y^2+5)^(1/2)/y$ con $y(0)=y_0$. Si determini al variare di $y_0 in R\{0}$ se il problema ammette esistenza ed unicità locale. Si determinino le eventuali soluzioni stazionarie. Si studino, al variare di $y_0 in R\{0}$ la monotonia e la concavità delle soluzioni. Si discuta se l'intervallo massimale di esistenza può essere illimitato a destra e si studi il comportamento asintotico delle soluzioni."
Lo studio del problema di Cauchy sono riuscito a risolverlo:
Ok esistenza locale ed unicità locale perchè la funzione è di classe $C^1$. Non esistono soluzioni stazionarie. Se $y_0>0$ allora è crescente, se $y_0<0$ allora è decrescente, se $y_0>0$ è concava, se $y_0<0$ allora convessa. Non ci sono asintoti e l'intervallo massimale è illimitato a destra.
Adesso il problema è risolvere l'equazione $y'=(y^2+5)^(1/2)/y$ tale che $y(0)=20^(1/2)$.
Io ho pensato di risolverla mediante l'integrazione delle variabili separate, però mi esce un risultato un pò strano:
$int_(0)^(y(t)) y/(y^2+5)^(1/2) = int_0^t 1 dt$
Quindi svolgendo l'integrale di sinistra per sostituzione ottengo:
$int_(0)^(y(t)) 1dt = t$
Quindi avrei:
$y(t)-y_0=t$ da cui \(\displaystyle y(t)=t-\sqrt{20} \)
Ma il risultato è sbagliato in quanto dovrebbe risultare:
\(\displaystyle u(t)=\sqrt{(t+5)^2-5)} \)
Con quale metodo bisogna risolvere l'equazione differenziale? Io pensavo per variabili separate visto che è di primo grado ma il risultato è sempre sbagliato!
Grazie
Ciao
Non riesco a capire come risolvere questo esercizio di analisi 2 che mi è capitato ieri all'esame.
Testo:
"Determinare la soluzione dell'equazione $y'=(y^2+5)^(1/2)/y$ tale che $y(0)=20^(1/2)$.
Confrontare i risultati con l'esercizio precedente: in particolare determinare l'intervallo massimale di esistenza e gli eventuali asintoti."
L'esercizio precedente (che sono riuscito a risolvere) chiedeva:
"Si consideri il problema di Cauchy $y'=(y^2+5)^(1/2)/y$ con $y(0)=y_0$. Si determini al variare di $y_0 in R\{0}$ se il problema ammette esistenza ed unicità locale. Si determinino le eventuali soluzioni stazionarie. Si studino, al variare di $y_0 in R\{0}$ la monotonia e la concavità delle soluzioni. Si discuta se l'intervallo massimale di esistenza può essere illimitato a destra e si studi il comportamento asintotico delle soluzioni."
Lo studio del problema di Cauchy sono riuscito a risolverlo:
Ok esistenza locale ed unicità locale perchè la funzione è di classe $C^1$. Non esistono soluzioni stazionarie. Se $y_0>0$ allora è crescente, se $y_0<0$ allora è decrescente, se $y_0>0$ è concava, se $y_0<0$ allora convessa. Non ci sono asintoti e l'intervallo massimale è illimitato a destra.
Adesso il problema è risolvere l'equazione $y'=(y^2+5)^(1/2)/y$ tale che $y(0)=20^(1/2)$.
Io ho pensato di risolverla mediante l'integrazione delle variabili separate, però mi esce un risultato un pò strano:
$int_(0)^(y(t)) y/(y^2+5)^(1/2) = int_0^t 1 dt$
Quindi svolgendo l'integrale di sinistra per sostituzione ottengo:
$int_(0)^(y(t)) 1dt = t$
Quindi avrei:
$y(t)-y_0=t$ da cui \(\displaystyle y(t)=t-\sqrt{20} \)
Ma il risultato è sbagliato in quanto dovrebbe risultare:
\(\displaystyle u(t)=\sqrt{(t+5)^2-5)} \)
Con quale metodo bisogna risolvere l'equazione differenziale? Io pensavo per variabili separate visto che è di primo grado ma il risultato è sempre sbagliato!
Grazie
Ciao
Risposte
Che sostituzione hai fatto nell'integrale?
comunque l'integranda è proprio la derivata di \(\displaystyle \sqrt{y^2+5} \) quindi
\(\displaystyle \sqrt{y^2+5} =t + c\)
imponi la condizione iniziale e vedi quanto vale c.
comunque l'integranda è proprio la derivata di \(\displaystyle \sqrt{y^2+5} \) quindi
\(\displaystyle \sqrt{y^2+5} =t + c\)
imponi la condizione iniziale e vedi quanto vale c.
Ciao!
Avevo sbagliato a fare la sostituzione!
Grazie
Ciaoo
Avevo sbagliato a fare la sostituzione!
Grazie
Ciaoo
Ok, ciao 
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