Equazione differenziale

[Thyeme]

Ciao ragazzi! Premetto sono ancora alle prime armi con le funzioni differenziali quindi se nel post faccio errori veramente basilari per favore non linciatemi!

Allora il testo dell esercizio è: Una chiatta ferma parte all'istante $t = 0$; il motore le applica una forza costante di
intensita $f$ nella direzione del moto; la resistenza al moto è un forza $-alphav$, proporzionale alla velocità
$v = v(t)$ della chiatta ($alpha > 0$ è una costante). Trovare la legge $v = v(t)$ con cui varia la velocità della
chiatta, mostrando in particolare che c'e una velocità limite, da determinarsi.

Ok.. allora l equazione dovrebbe essere $v'= f/m - alphav(t)/m$. Questa la scrivo come $(v')/(1-(alpha/f)v(t))=f/m$
Ora definisco $beta=alpha/f$ tanto per comodità.
Quindi faccio $int (v')/(1-betav(t)) dt = ft/m => (log(1-beta v(t)))/beta = ft/m => v(t)=1/beta - (e^(betaft/m))/beta => v(t) = f/alpha - (f*e^(alphat/m))/alpha$

Ora la v(t) trovata soddisfa la condizione v(0)=0 ma trovo che il $lim_{t \to \infty} v(t) = 0$, cosa che assolutamente non dovrebbe essere...

[robbstark1]

C'è un errore nel calcolo dell'integrale, semplicemente un segno meno mancante:
$int (v')/(1-betav(t)) dt = ft/m => -(log(1-beta v(t)))/beta = ft/m => v(t)=1/beta - (e^(-betaft/m))/beta => v(t) = f/alpha - (f*e^(-alphat/m))/alpha$
Senza quel segno meno ti sarebbe venuto $lim_{t \to \infty} v(t) = - \infty$ e non $0$, perchè il secondo termine è un esponenziale divergente.
Con il segno giusto invece viene $lim_{t \to \infty} v(t) = f/alpha$ perchè l'esponenziale va a $0$.

[Thyeme]

Cavolo!!! Si sul limite avevo scritto sul foglio $ -oo$ poi non so perché sul post ho scritto $0$... l integrale invece l avevo proprio sbagliato! Grazie mille per la correzione!!