Equazione differenziale
Ciao a tutti! Ho risolto diverse volte questa equazione differenziale ma il risultato non coincide.
$ { ( yy'=y^2+e^(4t)),( y(0)=-1 ):} $
Soluzione.
Riscrivo l'equazione in $z(t)$ (utilizzando l'equazione di Bernoulli) e quindi ottengo:
$z'(t)-2z(t)=2e^(4t)$
Ho quindi un'equazione lineare del primo ordine, che andrò a risolvere in questo modo:
(non mi visualizza la formula, comunque è la formula riguardante il metodo di risoluzione delle equazioni differenziali del primo ordine dove prima si calcola $A(t)$ e poi la $y(t)$)
Ho trovato $A(t)$ che è uguale a $-2t$ e poi mi sono calcolato $z(t)$ che risulta $(e^(4t)-2e^(2t))$
Sapendo che $y(t)=z^(1/2)$ ottengo che la mia $y(t)$ vale la radice del risultato appena scritto.
Guardando la soluzione del libro ho che il problema di Cauchy risulta: $-e^(2t)$.
E' giusto il metodo che ho utilizzato?
Grazie
Ciao
$ { ( yy'=y^2+e^(4t)),( y(0)=-1 ):} $
Soluzione.
Riscrivo l'equazione in $z(t)$ (utilizzando l'equazione di Bernoulli) e quindi ottengo:
$z'(t)-2z(t)=2e^(4t)$
Ho quindi un'equazione lineare del primo ordine, che andrò a risolvere in questo modo:
(non mi visualizza la formula, comunque è la formula riguardante il metodo di risoluzione delle equazioni differenziali del primo ordine dove prima si calcola $A(t)$ e poi la $y(t)$)
Ho trovato $A(t)$ che è uguale a $-2t$ e poi mi sono calcolato $z(t)$ che risulta $(e^(4t)-2e^(2t))$
Sapendo che $y(t)=z^(1/2)$ ottengo che la mia $y(t)$ vale la radice del risultato appena scritto.
Guardando la soluzione del libro ho che il problema di Cauchy risulta: $-e^(2t)$.
E' giusto il metodo che ho utilizzato?
Grazie
Ciao
Risposte
L'equazione non è di Bernoulli: quella di partenza non è della forma $y'+a(x) y=b(x) y^\alpha$. Quella che hai è una equazione non lineare, che va risolta in modo diverso. Se poni $z=y^2$ allora $z'=2yy'$ e pertanto
$z'=z/2+{e^{4t}}/{2}$
e questa ora è lineare.
$z'=z/2+{e^{4t}}/{2}$
e questa ora è lineare.
Ciao!
Ho provato come mi hai suggerito ma il risultato non mi torna ancora.
$ { ( z'-1/2z=1/2e^(4t)) ,( z(0)=-1 ):} $
La prima equazione la risolvo con il metodo per le equazioni lineari del primo ordine, trovando $A(s)$ e poi $y(t)$ dove
$y(t)=e^(-A(s))(y(0)+int(e^A(s)xb(s))$
Il risultato però è ancora diverso. Riesci a scrivermi i primi passaggi?
Grazie mille
Ciao!
Ho provato come mi hai suggerito ma il risultato non mi torna ancora.
$ { ( z'-1/2z=1/2e^(4t)) ,( z(0)=-1 ):} $
La prima equazione la risolvo con il metodo per le equazioni lineari del primo ordine, trovando $A(s)$ e poi $y(t)$ dove
$y(t)=e^(-A(s))(y(0)+int(e^A(s)xb(s))$
Il risultato però è ancora diverso. Riesci a scrivermi i primi passaggi?
Grazie mille
Ciao!
Mi sono accorto di un errore (la fretta di scrivere): poiché $z=y^2$ e quindi $z'=2yy'$ si ha $yy'={z'}/2$ e quindi l'equazione diventa
${z'}/2=z+e^{4t}$ da cui $z'-2z=2e^{4t}$.
Ora $A(t)=\int -2\ dt=-2t$ per cui
$z(t)=e^{2t}[\int e^{-2t} 2e^{4t}\ dt+c]=e^{2t}[2\int e^{2t}\ dt+c]=e^{2t}[e^{2t}+c]$
e pertanto
$y^2=\pm e^{2t}(e^{2t}+c)$
da cui
$y=\pm e^{t}\sqrt{e^{2t}+c}$
A questo punto dalla condizione iniziale si ha
$-1=-\sqrt{1+c}$ e quindi $c=0$.
La soluzione è pertanto
$y(t)=-e^{2t}$.
${z'}/2=z+e^{4t}$ da cui $z'-2z=2e^{4t}$.
Ora $A(t)=\int -2\ dt=-2t$ per cui
$z(t)=e^{2t}[\int e^{-2t} 2e^{4t}\ dt+c]=e^{2t}[2\int e^{2t}\ dt+c]=e^{2t}[e^{2t}+c]$
e pertanto
$y^2=\pm e^{2t}(e^{2t}+c)$
da cui
$y=\pm e^{t}\sqrt{e^{2t}+c}$
A questo punto dalla condizione iniziale si ha
$-1=-\sqrt{1+c}$ e quindi $c=0$.
La soluzione è pertanto
$y(t)=-e^{2t}$.
Ciao!
Grazie mille.. Anche io ho fatto così però il risultato non torna.. dovrebbe essere $-e^(2t)$.. però dai calcoli non risulta.
Ho provato anche con wolframalpha e il risultato è corretto:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... %2Be%5E(4t)%2C%20y(0)%3D-1%7D&t=crmtb01
Grazie
Ciao
Grazie mille.. Anche io ho fatto così però il risultato non torna.. dovrebbe essere $-e^(2t)$.. però dai calcoli non risulta.
Ho provato anche con wolframalpha e il risultato è corretto:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... %2Be%5E(4t)%2C%20y(0)%3D-1%7D&t=crmtb01
Grazie
Ciao
Le soluzioni che ti da wolfram sono $y=\pm e^t\sqrt{c+e^{2t}}=\pm\sqrt{ce^{2t}+e^{4t}}$ che coincidono con le mie. Tu sei sicuro che l'equazione sia quella? Perché se provi a sostituire $y=-e^{2t}$ nell'equazione non hai una identità!
Ciao!
Purtroppo non torna ancora. Questo è il link al tema esame:
http://dm.ing.unibs.it/luterott/didatti ... 7set12.pdf
Esercizio 8.
Soluzione:
http://dm.ing.unibs.it/luterott/didatti ... 7set12.pdf
Nel testo viene chiesto di confrontare il risultato ottenuto con l'esercizio precedente (es.7) Nell'esercizio precedente ho trovato che non ci sono soluzioni stazionario e quindi non ho asintoti.
Non credo però che il risultato di questo problema di Cauchy dipenda dallo studio precedente. Come si può interpretare la cosa?
Grazie mille
Ciao
Purtroppo non torna ancora. Questo è il link al tema esame:
http://dm.ing.unibs.it/luterott/didatti ... 7set12.pdf
Esercizio 8.
Soluzione:
http://dm.ing.unibs.it/luterott/didatti ... 7set12.pdf
Nel testo viene chiesto di confrontare il risultato ottenuto con l'esercizio precedente (es.7) Nell'esercizio precedente ho trovato che non ci sono soluzioni stazionario e quindi non ho asintoti.
Non credo però che il risultato di questo problema di Cauchy dipenda dallo studio precedente. Come si può interpretare la cosa?
Grazie mille
Ciao
Mmmmmm, e ci sta che venga così. Mi sa che ho sbagliato qualche segno, vediamo un po'...
EDIT: corretto! Sai che facevo? scrivevo l'equazione giusta e risolvevo quella sbagliata (con 1/2$ al posto di $2$ che moltiplicava tutto)!
EDIT: corretto! Sai che facevo? scrivevo l'equazione giusta e risolvevo quella sbagliata (con 1/2$ al posto di $2$ che moltiplicava tutto)!
Ciao!
Scrivevi l'equazione giusta quindi...
$z'-2z=2e^(4t)$
Ma quale hai sbagliato a risolvere? Perchè io ho provato a risolvere questa ma non mi torna ancora il risultato.
Grazie mille
Ciaoo!
Scrivevi l'equazione giusta quindi...
$z'-2z=2e^(4t)$
Ma quale hai sbagliato a risolvere? Perchè io ho provato a risolvere questa ma non mi torna ancora il risultato.
Grazie mille
Ciaoo!
Controlla sopra, ho corretto la soluzione.
Ciao!
Grazie mille per la risposta ora mi torna tutto quanto.
Una sola cosa.. quando trovo $y(t)$ devo fare la radice della mia $z$, quindi troverò due valori di $c$.. nel nostro caso abbiamo $c=-2$ e $c=0$. Abbiamo scartato la $c=-2$ perchè non verifica l'uguaglianza
$y(0)=-1$ giusto?
Grazie ancora
Ciao
Grazie mille per la risposta
ora mi torna tutto quanto.Una sola cosa.. quando trovo $y(t)$ devo fare la radice della mia $z$, quindi troverò due valori di $c$.. nel nostro caso abbiamo $c=-2$ e $c=0$. Abbiamo scartato la $c=-2$ perchè non verifica l'uguaglianza
$y(0)=-1$ giusto?
Grazie ancora
Ciao
L asoluzione col $+$ neanche la devi guardare: la radice quadrata è una funzione a valori positivi, ergo per ottenere come condizione $-1$ devi metterci davanti per forza il -. E comunque ti faccio presente che $\sqrt{1-2}=\sqrt{-1}=i$, e va tutto a signorine discinte che passeggiano allegramente per le strade.
Perfetto grazie mille
Ciao!
Ciao!
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